Ordnungsrelation

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsrelation
Meine Frage:
1. Sei M eine Menge. Zeigen Sie, dass eine Ordnungsrelation von P(M) darstellt!

2. Ist im Allgemeinen auf P(M) eine totale Ordnungsrelation?

Meine Ideen:
2. ja

1. Kann ich dies mit einem Beispiel zeigen? z.B.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Beispiel ist kein Beweis, du wirst das für eine allgemeine Menge machen müssen. Für die 2. reicht es auch nicht einfach nur "Ja" zu schreiben, das muss begründet werden (die Begründung wird dir hier aber schwer fallen).
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich das denn zeigen, dass die Ordnungsrelation gilt?

Und wieso wird die Begründung hier schwer fallen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Ordnungsrelation kann nicht gelten. Eine Relation kann eine Ordnungsrelation sein. Für den Nachweis solltest du die Definition einer Ordnungsrelation nachschlagen, was für Eigenschaften muss diese aufweisen?

Wie bist du denn in 2. auf die Antwort gekommen? Versuch das doch einmal zu begründen. Das dürfte dir deshalb schwer fallen, weil es i.A. eben keine totale Ordnungsrelation ist.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer Ordnungsrelation ist die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann sei nun eine Menge und wir betrachten die Teilmengenrelation auf . Ist diese Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv? Wenn ja, warum?
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexiv: ja, weil
Antisymmetrisch: ja, weil
Transitiv: ja, weil
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lynn2
Reflexiv: ja, weil


Für welche soll das denn gelten? Das sollte noch dazu.

Zitat:
Original von Lynn2
Antisymmetrisch: ja, weil
Transitiv: ja, weil


Das ist so nicht richtig. Die Potenzmenge hat hier eigentlich nichts zu suchen, stattdessen solltest du dir Elemente aus der Potenzmenge, also z.B. nehmen. Damit wäre dein Nachweis dann soweit korrekt.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das, für welche M soll das gelten?

Wie soll denn dann die Gleichung aussehen mit A, B und C?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher steht bei dir einfach nur , aber was soll denn sein? Einfach eine Gleichung oder einen Ausdruck hinschreiben, reicht nicht als Begründung. Orientier dich da an der Definition der Reflexivität, was bedeutet es, wenn eine Relation reflexiv ist? Wie muss das bei dieser (potentiellen) Ordnungsrelation dann umgesetzt werden?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Defintion der Reflexivität.



So?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll jetzt hier sein? unglücklich

Wir haben eine Menge gegeben. Auf der Potenzmenge wird jetzt eine Relation definiert. Du sollst jetzt prüfen, ob diese Relation eine Ordnungsrelation ist.

Reflexiv: , wie übersetzt sich das auf die hier gegebene Relation? Auf welcher Menge ist die Relation definiert bzw. anders gefragt: was ist hier dein aus der Definition, was ist dein ?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

M ist in der Aufgabe nicht gegeben, es ist allgemein gehalten.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann formulier ich es um, damit das dich nicht verwirrt:

Sei eine Menge, wir betrachten die Teilmengenrelation auf .

Eine Relation ist natürlich immer auf einer Menge definiert, in der Definition ist die Menge mit bezeichnet. Auf welcher Menge ist die Relation nun in der Aufgabe definiert?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der Menge A ist es definiert.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. unglücklich

Wir betrachten die Teilmengenrelation auf , wir betrachten also Elemente aus , unsere Relation ist also auf definiert. Was ist also für die Reflexivität zu zeigen?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das für Elemente aus die Teilmengenrelation gilt, also z.B.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

1.

2.

3.

Das muss ich ja insgesamt zeigen oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, damit kommen wir der Sache näher. Freude

Kannst du für jede dieser drei Eigenschaften begründen, warum das gilt?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Reflexivität: Jedes Teilmenge ist eine Teilmenge von sich selber deshalb gilt dies.

3. Transivität: Wenn A eine Teilmenge von B ist und B eine Teilmenge von C, ist auch A eine Teilmenge von C.

2. Antisymmetrie: Wenn A eine Teilmenge von B ist und B eine Teilmenge von A, dann müssen A und B gleich sein.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist die Sache mit der Ordnungsrelation abgehakt. Es bleibt jetzt noch die zweite Frage übrig, ob es sich hierbei i.A. um eine totale Ordnung handelt. Da solltest du dich mal auf die Suche nach einem Gegenbeispiel machen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich persönlich finde keine Gegenbeispiele, hast du eventuell einen Tipp?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn nachgeschlagen, was eine totale Ordnung noch zusätzlich erfüllen muss und die geforderte Eigenschaft verstanden? Dann kann ich mir nämlich kaum vorstellen, dass du kein Gegenbeispiel findest.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das alles nacheinander folt, also z.B. usw.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nur eine anschauliche Vorstellung, was bei einer totalen Ordnung möglich wäre, das dürfte aber nicht eure Definition sein. Da sollte vielmehr so etwas stehen wie "Eine Relation ist total, wenn für alle stets oder ist", wenn je zwei Elemente also immer in Relation zueinander stehen (in gewissem Sinne vergleichbar sind).

Damit sollte es kein großes Problem sein, ein Gegenbeispiel zu konstruieren, versuch es doch einfach mal z.B. mit .
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann müsste eine totale Ordnung sein, da alle Elemente zueinander in Relation stehen können, z.B. mit <.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht aber doch hier gar nicht um irgendeine andere Relation...lies dir doch die Aufgabe nochmal durch, da steht genau drin welche Relation gemeint ist.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh entschuldige, ich dachte wir schauen erstmal allgemein. Augenzwinkern
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hierfür gelten doch auch die Transivität etc., oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Transitivät etc. ist hier kein Problem. Schließlich haben wir ja in a) gezeigt, dass es sich dabei um eine Ordnungsrelation handelt. Es geht hier aber noch darum, ob es auch eine totale Ordnungsrelation ist.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann muss ich leider gestehen, habe ich die Definition von total doch falsch verstanden. traurig
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wie habt ihr das denn nun definiert? Ich habe oben eine mögliche Formulierung angegeben, auch schon eine weitere sprachliche Umschreibung (je zwei Elemente stehen immer zueinander in Relation). Das wird bei der Teilmengenrelation aber nicht möglich sein, dafür suchen wir jetzt noch ein Gegenbeispiel.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben es so definiert, wie ich es vorhin geschrieben habe.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also habt ihr aufgeschrieben:

Zitat:
Original von Lynn2
Ja, das alles nacheinander folt, also z.B. usw.


verwirrt

Das kann und will ich dir einfach nicht glauben. Das ist alles, aber keine vernünftige Definition.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wirklich.
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