Abbildungen inj/surj/bij

03.11.2013, 14:00

jan21

Abbildungen inj/surj/bij

Meine Frage:
Ist die Abbildung $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ injektiv, surjektiv oder sogar bijektiv?

$\begin{eqnarray*} f_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, (x,y) \mapsto (x+y,xy) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Könnt ihr mir erstmal erklären, wie genau man das lesen soll? $\begin{eqnarray*} x \mapsto x+y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \mapsto xy \end{eqnarray*}$ ? Also schauen ob f(x)=x+y und f(y)=xy? Dankbar für jeden Rat!

03.11.2013, 14:28

Elvis

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Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element der Wertemenge zu. Hier wird jedem Paar reeller Zahlen ein Paar reeller Zahlen zugeordnet.

03.11.2013, 16:42

jan21

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Neue Aufgabe!
Okay, nicht injektiv und nicht surjektiv. Somit auch nicht bijektiv.

Neue Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f_2: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^3 \end{eqnarray*}$

Idee:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
Sei f bijektiv, also injektiv und surjektiv. Sei $\begin{eqnarray*} x^3 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wegen der Surjektivität von f gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_1 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1) = x^3 \end{eqnarray*}$ . Gibt es nun ein weiteres $\begin{eqnarray*} x_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_2) = x^3 \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ aus der Injektivität.

$\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$
Da es für alle $\begin{eqnarray*} x^3 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (genau) ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ gibt, gilt $\begin{eqnarray*} f(\mathbb{R}) = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Somit ist f surjektiv. Seien nun $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) = x^3 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann folgt aus der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ ist, also ist f injektiv.

Geht das so, oder mache ich hier schon wieder etwas falsch?

03.11.2013, 18:03

Elvis

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$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ ist injektiv ( $\begin{eqnarray*} x^3=y^3 \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ ) und surjektiv ( $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R\Rightarrow \sqrt[3]{x} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) , also bijektiv. (Eine "Umkehrung" kann und muss man nicht zeigen.)

Wie kommst du bei der ersten Aufgabe darauf, dass diese Funktion nicht surjektiv sei ? Gibt es ein $\begin{eqnarray*} (a,b)\in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , das sich nicht als $\begin{eqnarray*} (a,b)=(x+y,xy) \end{eqnarray*}$ darstellen lässt ?

03.11.2013, 19:13

jan21

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Zu deiner Frage:

Angenommen sei x = 2, y = 1, bzw. x = 1, y = 2, dann:
$\begin{eqnarray*} f(2,1) = (3,2) = f(1,2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht injektiv.

Angenommen sei x + y = 0, xy = 1
aus x + y = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x=-y
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -y \cdot y = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -y^2=1 \Rightarrow y^2 = -1 \Rightarrow y = \sqrt{-1} \notin \mathbb{R} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv.

Ist das falsch?

04.11.2013, 12:06

Math1986

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Zitat:

Original von jan21
Zu deiner Frage:

Angenommen sei x = 2, y = 1, bzw. x = 1, y = 2, dann:
$\begin{eqnarray*} f(2,1) = (3,2) = f(1,2) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht injektiv.

Korrekt.

Zitat:

Original von jan21
Angenommen sei x + y = 0, xy = 1
aus x + y = 0 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ x=-y
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -y \cdot y = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow -y^2=1 \Rightarrow y^2 = -1 \Rightarrow y = \sqrt{-1} \notin \mathbb{R} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv.

Ist das falsch?

Korrekt.

05.11.2013, 11:33

jan21

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Also das Zweite ist falsch?

05.11.2013, 15:39

RavenOnJ

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Zitat:

Original von jan21
Also das Zweite ist falsch?

Deine Argumentation war richtig. $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ gehört nicht zur Bildmenge von $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , somit ist $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv.

05.11.2013, 23:26

jan21

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Super. Einen anderen Weg hätte ich erstmal nicht gewusst. Gibt es noch andere Möglichkeiten?

06.11.2013, 00:23

RavenOnJ

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Es gibt immer andere Möglichkeiten, aber so reicht es doch.

06.11.2013, 10:51

Math1986

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Zitat:

Original von jan21
Super. Einen anderen Weg hätte ich erstmal nicht gewusst. Gibt es noch andere Möglichkeiten?

Vom Prinzip her fällt mir erstmal keine andere Argumentation ein. Man könnte natürlich auch $\begin{eqnarray*} (0,42) \end{eqnarray*}$ oder andere Elemente als Gegenbeispiel heranziehen, ändert aber nichts an der grundsätzlichen Herangehensweise.

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