Eigenvektoren berechnen

04.11.2013, 16:37

Lara_mag_Chemie

Eigenvektoren berechnen

Hallo

Ich habe die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , von der ich die Eigenvektoren berechnen möchte. Die Nullstellen habe ich berechnet zu $\begin{eqnarray*} \lambda_1 =7 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ . Zu $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ möchte ich nun den zugehörigen Eigenvektor berechnen. Dies führt mich auf das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für mich bedeutet dies ja, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Das macht doch keinen Sinn. Habe ich das Glechungssystem falsch aufgestellt oder wie geht es hier sinnvoll weiter?

Danke für die Hilfe
Grüße

04.11.2013, 16:43

Captain Kirk

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Hallo,

du hast vollkommen richtig gerechnet.
Das ganze macht auch Sinn, die Frage ist eher warum du meinst ist würde keinen machen.

Du musst jetzt nur noch das Gleichungssystem lösen. Es genügt eine nicht-triviiale Lösung.

04.11.2013, 19:55

Lara_mag_Chemie

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Hi

Danke erstmal. Meine Verwirrung beruht darauf, dass ich gelernt habe LGS so zu lösen, dass ich sie mit dem Gauß Verfahren auf Zeilen-Stufen Form bringe. Hier erhalte ich aber, wenn ich die beiden Gleichungen addieren, Eine Gleichung in der nur Nullen stellen.

Ich weiss nicht wie ich dies interpretieren muss. Das Problem liegt denke ich eher daran, dass ich nicht weiss wie ich solch ein LGS dann löse, außer das was ich kenne mit dem Gauß Verfahren und wie ich es interpretiere, wenn in der letzten Zeile nur Nullen stehen. Ich dachte, das würde bedeuten, man hat unendlich viele Lösungen.

Gruß

04.11.2013, 20:10

Captain Kirk

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Zitat:

Meine Verwirrung beruht darauf, dass ich gelernt habe LGS so zu lösen, dass ich sie mit dem Gauß Verfahren auf Zeilen-Stufen Form bringe. Hier erhalte ich aber, wenn ich die beiden Gleichungen addieren, Eine Gleichung in der nur Nullen stellen.

Vollkommen richtig.

Zitat:

Das Problem liegt denke ich eher daran, dass ich nicht weiss wie ich solch ein LGS dann löse, außer das was ich kenne mit dem Gauß Verfahren und wie ich es interpretiere, wenn in der letzten Zeile nur Nullen stehen.

Gauß kann auch diesen fall erledigen. Schau nochmal in deinem Skript nach, ich bin mir ziemlich sicher da steht was dazu.
(Warum ich hier nicht mehr dazu sage: Gauß wird in sehr unterschiedlicher notation eingeführt und jetzt meine Notation zu verwenden würde mit hoher W-keit verwirren. Außer ich schreib 2 Seiten, darauf hab ich aber keine Lust. )
Man könnte hier auch lösen, indem man eine nicht-triviale Lösung "rät".

Zitat:

Ich dachte, das würde bedeuten, man hat unendlich viele Lösungen.

Das bedeutet es auch. und das muss auch so sein, denn ist x ein Eigenvektor so auch $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in K^* \end{eqnarray*}$ , (K der zugrundeliegende Körper)

08.11.2013, 19:14

fontsix

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Ich schreib einfach mal in das Thema hier rein, da ich gerade das gleiche Problem mit einer Aufgabe habe. Meine Aufgabe stammt jedoch aus einer Aufgabe aus einem Differentialgleichungssystem.
Daraus habe ich die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -13 & 30 \\ -9 & 20 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zu dieser Matrix habe ich die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 2 \end{eqnarray*}$ bestimmt.
Durch Aufstellen der Matrizengleichung erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -13-\lambda_{1} & 30-0 \\ -9-0 & 20-\lambda_{1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -18 & 30 \\ -9 & 15 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

woraus folgendes homogenes lineares Gleichungssystem resultiert.

$\begin{eqnarray*} <br /> -18x+30y=0<br /> -9x+15y=0<br /> \end{eqnarray*}$

Durch lösen des Gleichungssystems erhält man die Eigenvektoren, welches mir jedoch Probleme bereitet. Ich weiß dass bei einem Eigenwert von $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 5 \end{eqnarray*}$ ein dazugehöriger Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ herauskommen muss, jedoch komme ich einfach nicht auf die richtige Lösung. Wenn ich z.B. den Gauss anwende, erhalte ich für die untere Zeile eine Nullzeile, d.h. durch einführen einer neuen Variable erhält man unendlich viele Lösungen. Wovon eine Lösung bei mir jedoch $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ ist und ich niemals auf die o.g. Lösung komme.

Kann jemand helfen?

09.11.2013, 18:14

URL

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Zitat:

Original von fontsix
Wenn ich z.B. den Gauss anwende, erhalte ich für die untere Zeile eine Nullzeile, d.h. durch einführen einer neuen Variable erhält man unendlich viele Lösungen.

Soweit, so richtig. Aber das

Zitat:

Original von fontsix
Wovon eine Lösung bei mir jedoch $\begin{eqnarray*} \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

ergibt keinen Sinn, denn du hast zwei Unbekannte, eine Lösung des GLS muss also ein Paar sein.
Ich vermute mal, du hast $\begin{eqnarray*} x=\frac{5}{3}y, y\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gefunden. Setze y=3 und du bekommst das Paar (5,3) als Lösung.

10.11.2013, 11:29

fontsix

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Hey, danke für die Antwort. Ich werds mir mal anschauen. smile

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