Äquivalenzrelation |
04.11.2013, 18:32 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Äquivalenzrelation Zeigen Sie: Wenn eine Abbildung ist, dann wird durch genau dann, wenn für eine Äquivalenzrelation auf definiert. Meine Ideen: Eine Äquivalenzrealtion ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Soll ich diese Eigenschaften nun an zeigen? Oder wie ist die Aufgabe gemeint? Für mich klingt die Aufgabe etwas komisch, als wenn ein Wort fehlen würde. |
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04.11.2013, 18:42 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Übersetzt bedeutet das " ist genau dann äquivalent zu , wenn " Und wie du das zeigst, weißt du, oder? Deine dahingehende Frage klingt nicht mal schlecht Lg kgV |
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04.11.2013, 18:59 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Äquivalenzrelation Reflexivität: ja, da Symmetrie: ja, da Transivität: ja, da So? LG zurück |
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04.11.2013, 19:03 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Äquivalenzrelation Genau so Eventuell noch explizit ergänzen, dass aus deinen Folgerungen auch die Äquivalenz folgt, aber das ist nur noch Formsache. Der Kern des Beweises stimmt |
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04.11.2013, 19:13 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Äquivalenzrelation Vielen Dank. Ich werde das noch etwas ausschmücken. 2. Teilaufgabe: Sei eine Äquivalenzrelation auf . Zeigen Sie, dass es eine Menge B und eine surjektive Abbildung gibt mit genau dann, wenn für . Surjektiv heißt, dass jedes a ein f(a), also b, besitzt, dabei kann es auch vorkommen, dass zwei verschiedene a das gleiche b haben. Soweit mein Verständnis dazu. Doch wie ist diese Aufgabe zu verstehen? |
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04.11.2013, 19:30 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Äquivalenzrelation Da weiß ich jetzt spontan keinen wirklich gescheiten Ansatz, die Nachfrage überrumpelt mich ein wenig... edit: falsche "Vielleicht-Lösung" von vorhin entfernt Wenn jemand einen Lösungsweg hat, kann er/sie gerne hier weitermachen Nur eines:
Surjektiv heißt etwas leicht anderes: Jedes b hat ein a, so dass b der Funktionswert von f an der Stelle a ist: Dass jedes a ein b hat, ist in der Definition des Wortes "Funktion" enthalten |
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04.11.2013, 20:22 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Äquivalenzrelation Kurz die Idee: Die Menge ist hier die Menge der Äquivalenzklassen, falls der Begriff schon geläufig ist. D.h. für setzt man Dann sei . |
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04.11.2013, 20:45 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Lynn2: Kommst du mit der Idee von Che Netzer weiter? Inzwischen habe ich den Beweis, danke dir, Che |
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04.11.2013, 21:30 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Idee von Che ist mir leider komplett neu, wäre super lieb von euch, wenn ihr das etwas genauer erklären könntet. |
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04.11.2013, 21:32 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was eine Äquivalenzklasse ist, weißt du? Damit steht und fällt der Beweis... |
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04.11.2013, 22:07 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Begriff ist schon mal gefallen, aber wäre supi, wenn du nochmal auf Deutsch erklären könntest, was Äquivalenzklassen sind und warum wir diese für den Beweis nutzen. |
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04.11.2013, 22:28 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Relation , geschrieben , ist die Menge aller x aus A, die zu a äquivalent sind (da wird sich Che verschreiben haben, es müsste lauten wobei mein x sein ist) Die Menge B, der Wertebereich unserer Funktion f ist nun die Menge aller Äquivalenzklassen aller a aus A, also die Menge aller Mengen von Elementen aus A, die zu einem bestimmten Element a aus A äquivalent sind. Klingt kompliziert, ist es aber nicht Wenn wir nun die Menge b betrachten, bzw ein Element davon: , was können wir aufgrund der Definition von B über dieses Element aussagen? Welche Gestalt hat es? Wenn du das beantwortet hast, schauen wir uns an, wie wir das für den Beweis der Surjektivität von f verwenden können/ wie f aussehen muss, damit es surjektiv ist |
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04.11.2013, 22:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso? |
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04.11.2013, 22:54 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Fehler, wie üblich... Die beiden Fälle sind hier ja äquivalent damit ist bewiesen, dass ich besser schlafen gehen sollte. Gute nacht wünsche ich |
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05.11.2013, 18:09 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das b muss ja dann einer Äquivalenzklasse entsprechen, wenn B die Menge aller Äquivalentklassen ist. |
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05.11.2013, 18:11 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jawoll, und zwar einer Äquivalenzklasse wovon? Das ist der entscheidende Punkt |
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05.11.2013, 19:25 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Äquivalenzklassen von a |
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05.11.2013, 19:28 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hä? Da wirst du dich wohl im Thema vertan haben eigentlich sollte das wohl dorthin |
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05.11.2013, 19:36 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schon geändert. Danke für den Hinweis. |
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05.11.2013, 19:39 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ist eine Äquivalenzklasse eines Elements aus A. Damit dürfte die Funktion nun klar sein? Weil jedes Element aus B eine Äquivalenzklasse eines Elementes aus A ist (nach der Definition von B), wie muss dann die Funktionsvorschrift lauten, dass f surjektiv ist? |
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05.11.2013, 20:18 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
05.11.2013, 20:21 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das gilt schon mal nicht. Angenommen, es gäbe mehrere Elemente aus a, die äquivalent zu sind, so wäre die Zuordnungsvorschrift mehrdeutig und keine Funktion mehr... Von surjektiv reden wir gar nicht Schau dir den Zusammenhang zwischen und b noch mal in Ruhe an. Wie wird denn , das du als auffassen kannst, definiert? was ist denn ? Was heißt das verallgemeinert? edit: dein Edit stimmt zwar, abgesehen von der falschen Platzierung des Index (Tippfehler), aber das bringt dich nicht weiter (oder vielleicht schon: Setze und schau dann, was das für f bedeutet) |
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05.11.2013, 20:29 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bedeutet, dass die Funktion eine Äquivalenzklasse von a, welches Element von A ist, ist. |
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05.11.2013, 20:31 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Idee scheint mir zu stimmen Kannst du das noch in mathematische Form übertragen, also ? |
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05.11.2013, 20:40 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
? |
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05.11.2013, 20:46 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das trifft es nicht so ganz - deine Schreibweise liefert eine konstante Funktion, weil vorne und hinten unterschiedliche Variablen/Konstanten vorkommen. Das ist so, als würde man definieren. Diese Funktion ist auch nicht surjektiv. Es wird ja a auf die Äquivalenzklasse von a abgebildet, wie muss die Funktion also aussehen? |
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05.11.2013, 21:09 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du so? Oder generell eine andere Schreibweise? |
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05.11.2013, 21:14 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geht schon in die richtige Richtung... Nur: es wird von a auf die Äquivalenzklasse von a abgebildet, also lautet die Funktion . Damit gilt auch . Weil das jetzt für jedes b aus B gilt, ist f surjektiv |
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05.11.2013, 21:25 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach ja na klar. Vielen Dank. Und das reicht aus, wenn ich das so als Lösung hinschreibe? |
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05.11.2013, 21:26 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Angabe der Funktion f und der Menge B nebst Nachweis der Surjektivität von f sollte eigentlich genügen, ja |
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05.11.2013, 21:33 | Lynn2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
DANKE. |
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05.11.2013, 21:34 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen |
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