Gruppenbildung Binomialkoeffizient

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenbildung Binomialkoeffizient
Meine Frage:
Sechs Leute teilen sich in 3 Gruppen auf. Auf wie viele Weisen geht dies? (Eine Gruppe kann auch nur aus einem Menschen bestehen, aber nicht weniger. Reihenfolge unwichtig.)

Meine Ideen:
Ich würde vermuten, dass man dies am besten mit dem Binomialkoeffizienten berechnen kann.

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du sollst nicht raten.
Für diese Aufgabe mußt du dir ein Konzept des Zählens erarbeiten. Sonst hast du keine Chance, sie zu lösen. In irgendeine vorgegebene Formel etwas einzusetzen, ist hoffnungslos.

Ich komme übrigens auf 90 Möglichkeiten (muß aber nochmals drüber nachdenken, ob ich mich nicht verzählt habe).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist natürlich richtig.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Hmh, also nach meinem Verständnis gibt es, wenn die Reihenfolge egal ist, nur 3 Möglichkeiten.
Kann aber gut sein, dass ich die Aufgabenstellung mißverstanden habe.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es so gemacht:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Herkunft meiner Berechnungsformel ist natürlich die Siebformel, wie unschwer zu erkennen ist.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grautvornix
Hmh, also nach meinem Verständnis gibt es, wenn die Reihenfolge egal ist, nur 3 Möglichkeiten.
Kann aber gut sein, dass ich die Aufgabenstellung mißverstanden habe.


Ich schätze, daß die Personen schon unterschieden werden sollen. Nur die Reihenfolge innerhalb einer Gruppe und die Reihenfolge zwischen den Gruppen ist egal.
So habe ich es jedenfalls verstanden.

Bei so viel unterschiedlichen Interpretationen und Herangehensweisen immerhin genügend Stoff für Lynn2 zum Nachdenken. Da ist tausendmal mehr mit gewonnen als mit der Lösung selbst.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Könnt ihr mir erklären, wie ihr auf diesen Ansatz kommt?

@Leopold:
Ich habe nicht geraten, lediglich nach einem Anfang gesucht, damit ich die Aufgabe lösen kann.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zwischen den Personen soll definitiv unterschieden werden. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir die Lösung von HAL 9000. Es ist gar nicht so einfach, sich in anderer Leute Strategie hineinzudenken. Ich habe das im folgenden nach HALs spärlichen Hinweisen einmal versucht. Er kann ja sagen, ob das im wesentlichen sein Vorgehen trifft.

Dazu nummerieren wir die drei Gruppen mit den Nummern . Und im ersten Schritt unterscheiden wir die Gruppen auch, z.B. weil die Gruppe immer blaue, die Gruppe immer rote und die Gruppe immer gelbe T-Shirts trägt und uns das wichtig ist.

Die sechs Personen werden dadurch unterschieden, daß wir sie als die Koordinaten eines Sextupels wählen, in die wir die jeweilige Gruppennummer eintragen. Also etwa so:



Das würde bedeuten: Die Person 1 ist in Gruppe , ebenso die Personen 2,3,4 und 6. Nur die Person 5 ist in Gruppe . Und in der Gruppe ist niemand. Wir haben also 5 Personen mit blauen T-Shirts und 1 Person mit gelbem T-Shirt. Nur ein rotes T-Shirt trägt niemand.

Alle solchen bilden zusammen die Menge



Natürlich ist dieses beziehungsweise seine Mächtigkeit noch nicht die Lösung, weil ja, wie gerade das Eingangsbeispiel zeigt, hier nicht alle Gruppen vertreten sein müssen. Wir betrachten daher



Die Mächtigkeit ist (fast) die Lösung der Aufgabe. Es erscheint leichter, die Mächtigkeit von zu bestimmen. Es ist



Mit Hilfe der Ereignisse



läßt sich als Vereinigung schreiben:



Mit der Siebformel kann berechnet werden und so mittels Komplementbildung auch .

Im zweiten Schritt muß dann noch berücksichtigt werden, daß die Gruppen in Wahrheit nicht unterscheidbar sind (es gibt also gar keine blauen, roten und grünen T-Shirts). Aber das ist nachträglich leicht zu korrigieren. Wie man es im übrigen auch der Formel von HAL 9000 ansehen kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie nicht anders zu erwarten war, hat Leopold voll ins Schwarze getroffen, der Erklärung gibt es nichts hinzuzufügen.


Jetzt müsste ich mich eigentlich revanchieren und

Zitat:
Original von Leopold

erklären. Ich kann nur annehmen, dass hier die drei möglichen Fälle

a) 1 Gruppe zu 4 Personen + 2 Gruppen zu je 1 Person
b) 1 Gruppe zu 3 Personen + 1 Gruppe zu 2 Personen + 1 Gruppe zu 1 Person
c) 3 Gruppen zu je 2 Personen

betrachtet wurden. Die Anzahlberechnung in den einzelnen Fällen erfolgt durch Permutationen mit Wiederholung von

a) 111123
b) 111223
c) 112233

unter besonderer Berücksichtigung dessen, dass die Gruppen mit den jeweils gleichen Mitgliederanzahlen in Wahrheit nicht wirklich per Gruppennummer identifizierbar sind (also 2 und 3 in Fall a) sowie 1,2,3 in Fall c)), was durch die entsprechende Fakultätsdivision korrigiert werden muss - also eigentlich aus genau dem selben Grund wie hier:

Zitat:
Original von Leopold
Im zweiten Schritt muß dann noch berücksichtigt werden, daß die Gruppen in Wahrheit nicht unterscheidbar sind (es gibt also gar keine blauen, roten und grünen T-Shirts). Aber das ist nachträglich leicht zu korrigieren.



Vielleicht abschließend, wie die Rechnung bei 7 statt 6 Leuten aussehen würde: Hier sind es dann vier Fälle



bzw. mit der Siebformelvariante

.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Lösung hast du richtig interpretiert.
Ist doch schön, wenn zwei unterschiedliche Zugänge zum selben Ergebnis führen. Zugleich ein Beleg dafür, daß es nicht die kombinatorische Lösung gibt, sondern verschiedene Lösungsstrategien zum Erfolg führen können. Aus meiner Erfahrung weiß ich, daß sich die meisten genau davor scheuen, eine Lösungsstrategie zu erarbeiten. Stattdessen setzen sie gleich in irgendwelche Potenzen, Binomialkoeffizienten, Fakultäten etwas ein, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren dies alles dann in einer mehr oder weniger beliebigen Art und Weise und präsentieren einem dann eine beliebige Zahl zwischen und als Lösung. Und das Ganze nennen sie dann Mathematik.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank. Den Lösungsweg von Leopold habe ich verstanden, nur den Lösungsweg von HAL muss ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen verwirrt , weil ich die Siebformel noch nicht kenne.

Herzlichen Dank.
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