Bedingte Erwartung

04.11.2013, 21:30

Furiusxx

Bedingte Erwartung

Meine Frage:

Sei $\begin{eqnarray*} D =([0,1],\mathcal{B}_([0,1],\lambda) \end{eqnarray*}$ ein W-Raum und $\begin{eqnarray*} X(\omega)=\omega^{2} \end{eqnarray*}$ . Betrachte die Teil-Sigma-Algebra
$\begin{eqnarray*} \mathcal D=\sigma([0,\frac{1}{4}),[\frac{1}{4},\frac{1}{2}],(\frac{1}{2},\frac{3}{4}], (\frac{3}{4}, 1]) \end{eqnarray*}$ . Bestimme $\begin{eqnarray*} E[X|\mathcal D_{1}] \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also bin mir relativ unsicher, wie man mit der bedingten Erwartung umgeht.
Wir haben: $\begin{eqnarray*} E[X | D_{1}] = \frac{1}{\lambda({D_{1}})} * E[X*1_{D_{1}}] \end{eqnarray*}$ .

Nun stellt sich mir die Frage, was ist $\begin{eqnarray*} E[X*1_{D_{1}}] \end{eqnarray*}$ ?? Ist das ganz normal $\begin{eqnarray*} \displaystyle \int x f(x) dx \end{eqnarray*}$ ? Wenn ja, welche Dichte habe ich denn?

05.11.2013, 10:23

Furiusxx

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Habe als Dichte $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$ raus. Stimmt das?

05.11.2013, 10:55

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \mathcal{D}, \mathcal{D}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ - ich denke, wenn du Ordnung in dein Bezeichnungschaos bringst, dann nützt das auch dem Verständnis, was hier inhaltlich abläuft.

Zitat:

Original von Furiusxx
Wir haben: $\begin{eqnarray*} E[X | D_{1}] = \frac{1}{\lambda({D_{1}})} * E[X*1_{D_{1}}] \end{eqnarray*}$ .

Ein Zusammenhang zu $\begin{eqnarray*} E\left[X \bigm| \mathcal{D}\right] \end{eqnarray*}$ besteht dabei aber nur für die vier atomaren Mengen deiner Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{D} \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} D_1 \end{eqnarray*}$ ist eine der vier Mengen

$\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{4}\right),\; \left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right],\; \left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right],\; \left(\frac{3}{4}, 1\right] \end{eqnarray*}$ .

Und nun zur Berechnung der rechten Seite: Es ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda([a,b])} \cdot E\left[X\cdot 1_{[a,b]}\right] = \frac{1}{b-a} \cdot \int X(\omega)\cdot 1_{[a,b]}(\omega) ~ \dd\lambda(\omega) = \frac{1}{b-a} \cdot \int\limits_a^b \omega^2 ~ \dd \omega \end{eqnarray*}$ ,

bei letzterer Gleichheit wird genutzt, dass Lebesgue- und Riemann-Integrale bei Riemann-integrierbaren Funktionen übereinstimmen.

05.11.2013, 11:14

Furiusxx

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Wie komme ich denn auf $\begin{eqnarray*} \int X(\omega) 1_{[a,b]} (\omega) dP_{X} = \int \omega^2 d\omega \end{eqnarray*}$ ?? Weil ich setzte doch meine Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{dP_{X}}{d\lamba(\omega)} \end{eqnarray*}$ und da P das Lebesguemaß ist also [latex] f(x)= \frac{d\lambda(X^{-1}(\omega)}{d\lambda(\omega)}[\latex]. Wie komme ich nun auf die Dichte?

05.11.2013, 11:17

Furiusxx

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Zitat:

Original von Furiusxx
Wie komme ich denn auf $\begin{eqnarray*} \int X(\omega) 1_{[a,b]} (\omega) dP_{X} = \int \omega^2 d\omega \end{eqnarray*}$ ?? Weil ich setzte doch meine Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{dP_{X}}{d\lambda(\omega)} \end{eqnarray*}$ und da P das Lebesguemaß ist also $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{d\lambda(X^{-1}(\omega)}{d\lambda(\omega)} \end{eqnarray*}$ . Wie komme ich nun auf die Dichte?

so richtig

05.11.2013, 11:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Furiusxx
Wie komme ich denn auf $\begin{eqnarray*} \int X(\omega) 1_{[a,b]} (\omega) dP_{X} = \int \omega^2 d\omega \end{eqnarray*}$ ??

Gar nicht, das Verteilungsmaß $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ ist hier falsch. Ich habe ja auch von

$\begin{eqnarray*} \int X(\omega) 1_{[a,b]} (\omega) ~ \dd P(\omega) \end{eqnarray*}$

geredet und dann direkt $\begin{eqnarray*} X(\omega)=\omega^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Dein Weg über das Verteilungsmaß ist m.E. viel zu umständlich und überaus fehleranfällig - zumindest wenn man nicht richtig weiß, was man da tut.

05.11.2013, 11:25

Furiusxx

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Ja aber wir haben bei der Definition von E[X] das Lebesgue-Stieltjes-Integral zugrunde gelegt und dann muss ich doch erstmal zu dem von dir verwendeten Integral kommen oder? Also ich verstehe warum $\begin{eqnarray*} \int XdP = \int X d\lambda \end{eqnarray*}$ ist, wobei das doch hier ein Spezialfall ist weil P das Lebesguemaß ist oder?

05.11.2013, 11:34

HAL 9000

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Ja, $\begin{eqnarray*} P={\color{red}\lambda} \end{eqnarray*}$ sollte doch klar sein im hier vorliegenden W-Raum $\begin{eqnarray*} ([0,1],\mathcal{B}_([0,1],{\color{red}\lambda}) \end{eqnarray*}$ . Und über die weitere Erklärung oben

Zitat:

Original von HAL 9000
bei letzterer Gleichheit wird genutzt, dass Lebesgue- und Riemann-Integrale bei Riemann-integrierbaren Funktionen übereinstimmen.

bist du wohl einfach hinweggegangen. Da kann man natürlich noch so viele Erklärungen schreiben, wenn sie nicht gelesen werden.

05.11.2013, 11:38

Furiusxx

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Es geht mir darum, wie ich von $\begin{eqnarray*} \int X dP_{X} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \int X dP \end{eqnarray*}$ komme, da wir den Erwartungswert für erstes Integral definiert haben.

05.11.2013, 11:47

HAL 9000

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Ein letztes Mal:

$\begin{eqnarray*} \int X dP_{X} \end{eqnarray*}$

ist Unsinn: $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist die Zufallsgröße, definiert auf der Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ des W-Raumes.

Das Verteilungsmaß $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ hingegen ist ein Bildmaß auf dem Werteraum $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}, \mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ . Wenn schon, dann müsste dort $\begin{eqnarray*} \int X ~ \dd P \stackrel{!}{=} \int x dP_{X}(x) = \int_{\mathbb{R}} x dP_{X}(x) \end{eqnarray*}$ stehen, und das ist der ganz normale Transformationssatz (für Bildmaße).

P.S.: Und die maßtheoretisch "originale" Definition des Erwartungswerts ist eigentlich $\begin{eqnarray*} E[X] := \int_{\Omega} X ~ \dd P \end{eqnarray*}$ , die Darstellungsform $\begin{eqnarray*} E[X] = \int_{\mathbb{R}} x \dd P_X(x) \end{eqnarray*}$ ist lediglich eine Folgerung gewonnen aus dem Transformationssatz.

05.11.2013, 12:25

Furiusxx

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Okay vielen Dank hat mir sehr geholfen smile

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