Untergruppen, Nebenklassen und Normalteiler bestimmen

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Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen, Nebenklassen und Normalteiler bestimmen
Guten Abend Wink

Ich möchte gerne alle Untergruppen und Normalteiler der bestimmen bzw. ich habe die Lösung und versuche sie nun zu verstehen.



Ich habe zuerst einmal die trivialen Untergruppen: und .

Nun kommen die Untergruppen wo man auch ein wenig rechnen muss (der Satz von Lagrange sagt mir die |U| und den Index der Nebenklasse).






Meine Fragen:

1.) Wie ermittle ich eine Untergruppe von . Warum gibt es keine Untergruppe mit zum Beispiel ?

2.) Was ist der Zweck der (Links/Rechts)nebenklassen? Geht es darum, dass alle Elemente aus mit Hilfe der Nebenklassen gebildet werden können, handelt es sich dann um eine Untergruppe?

3.) Mit welchen Elementen aus verknüpfe ich die Elemente beim berechnen der Rechtsnebenklassen?
Bsp: Rechtsnebenklassen von nach :
...
Hier ist mit (23) und (13) verknüpft. Warum ist es zum Beispiel nicht mit (123) verknüpft?

4.) Wie kann ich nun einen Normalteiler ablesen?
Intuitiv hätte ich gesagt, dass es immer mindestens 2 gibt. Einmal die Gruppe (hier: ) selbst und die Identität (id). Ein weiterer ist <(123)> , wenn ich mich nicht verschrieben habe.

Ich hoffe ihr könnt mir hierbei helfen und mir verständlich erklären warum ich was ich machen muss.

Ich danke allen für eure Hilfe smile
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen, Nebenklassen und Normalteiler bestimmen
hallo,
ein paar fragen kann ich dir beantworten. Es gibt z.B. keine untergruppe {id, (12),(23) }, weil
wenn man (12) mit (23) verknüpfen würde, würde das ergebnis nicht mehr in der untergruppe
liegen.
gruss ollie3
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ollie3,

Danke für die Antwort, das hat mir geholfen Freude
(12)*(23)=(123) stimmt, das ist damit nicht mehr in der Untergruppe, ich muss das also testen oder kann man sowas auch direkt sehen was zusammen gehört? Bei einer größeren Untergruppe wie der gäbe es ja einiges durch zu probieren.

Ich hoffe mir kann hier jemand die anderen Fragen erklären.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher
Bei einer größeren Untergruppe wie der gäbe es ja einiges durch zu probieren.


Also, größer würde ich die Menge (potentielle UG) nicht nennen. Hat doch nur drei Elemente. Berechne das Inverse von und schau, ob dies in der Menge enthalten ist und ob . Der Rest folgt daraus.

Edit: Wenn Untergruppe von , dann ist sie auch Normalteiler, da sie dann Index 2 hat (also halb so viel Elemente wie ). Wenn du das nicht benutzen darfst, musst du durchprobieren.
Matheversteher Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo RavenOnJ,

also so wirklich steige ich bei der Algebra nicht durch, deshalb muss ich hier genauer nachfragen (auch wenn es sich dumm anhört).

Also, ich meinte eigentlich wie komme ich auf die Elemente in , suche ich dann nur noch das Inverse von (123)? Und dann erhalte ich meine Untergruppe?

Zitat:
Edit: Wenn Untergruppe von , dann ist sie auch Normalteiler, da sie dann Index 2 hat (also halb so viel Elemente wie ). Wenn du das nicht benutzen darfst, musst du durchprobieren.


Heißt das, wenn meine Untergruppe die Hälfte der Elemente hat wie die Gruppe selbst, dass sie automatisch ein Normalteiler ist? Oder wie darf ich das Verstehen? verwirrt

Ergänzung zu Frage 3:
In meiner Lösung ist die , zur Bildung der Nebenklassen, mit (12) verknüpft. Warum ist nicht (23) zum Bilden der Nebenklassen gewählt worden?

Edit: Danke dass du dir die Zeit nimmst. Freude
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheversteher

Also, ich meinte eigentlich wie komme ich auf die Elemente in , suche ich dann nur noch das Inverse von (123)? Und dann erhalte ich meine Untergruppe?


Ein Untergruppenkriterium ist (Untergruppe U):


Unter Anderem folgt daraus, dass die Identität zu U gehört und . Letzteres allein reicht aber noch nicht, deswegen das hinreichende UG-Kriterium.

Wenn du in das Inverse zu bildest, kommst du auf . Entsprechend ist . Den Rest kannst du selber ausrechnen, also etc..

Zitat:

Zitat:
Edit: Wenn Untergruppe von , dann ist sie auch Normalteiler, da sie dann Index 2 hat (also halb so viel Elemente wie ). Wenn du das nicht benutzen darfst, musst du durchprobieren.


Heißt das, wenn meine Untergruppe die Hälfte der Elemente hat wie die Gruppe selbst, dass sie automatisch ein Normalteiler ist?



Ja, das ist so. Dies kann man so zeigen: Wenn Index 2 in hat, dann gibt es genau zwei Linksnebenklassen nach , und für ein geeignetes . Sei nun nicht Normalteiler, d.h. . Da , muss also sein. Sei n die Ordnung von in . Dann ist und , und sind also disjunkt, aber ist eine zu konjugierte Untergruppe, muss also mindestens die Identität enthalten. (Analog kann man annehmen, dass , sowie , sodass usw. ) Dies ist ein Widerspruch, der sich nur auflösen lässt durch , d.h. muss Normalteiler von sein.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Dass eine Untergruppe mit Index 2 Normalteiler sein muss, kann man noch einfacher sehen: Die Linksnebenklassen nach partionieren ja disjunkt, ebenso die Rechtsnebenklassen (die Partionierungen stimmen für Untergruppen mit Index > 2 i.A. nicht überein.). Da aber hier Index 2 hat,gibt es nur die Partitionierung in und und es gilt

sowie
,
also
,
d.h. ist Normalteiler in .
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