Rechnen mit komplexen Zahlen

05.11.2013, 16:01

bob123

Rechnen mit komplexen Zahlen

Hi nochmals,

[attach]32002[/attach]

Nun, ich weiß nicht so ganz wie ich das rechnen muss, ich bin soweit gekommen, dass ich die konjugierte Form im Zähler + Nenner erweitert hab von (3+4i)^2014.

Also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-4i \end{pmatrix}^{2014} \end{eqnarray*}$

und folglich hab ich dann ausmultipliziert, Potenzgesetz = Basis + Basis bei gleichem Exponent.
Dann habe noch das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-4i \end{pmatrix}^{2014} \end{eqnarray*}$ im Zähler gespalten in:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3-4i \end{pmatrix}^{2013} und \begin{pmatrix} 3-4i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

damit ich die beiden Exponentausdrücke multiplizieren kann per Potenzgesetz.

Raus kommt bei mir am Ende:

$\begin{eqnarray*} \frac{(50i)^{2013}*(3-4i)}{25^{2014}} \end{eqnarray*}$

Bin mir jetzt nicht sicher in wie fern ich das noch weiter ausrechnen soll... Bitte um Hilfe.

bei b) weiß ich auch nicht ganz recht, hab versucht es auszumultiplizieren, am Ende komm ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(z^2+2z-iz^2+1-2iz-i)} \end{eqnarray*}$

Kann jemand helfen?

05.11.2013, 16:21

Steffen Bühler

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RE: Rechnen mit komplexen Zahlen
Die Aufgabe kommt auch immer wieder... Augenzwinkern

Real- und Imaginärteil berechnen mit Potenz

Viele Grüße
Steffen

05.11.2013, 17:04

bob123

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein bisschen Mitdenken wie etwa

$\begin{eqnarray*} \frac{(-8+6i)^{2013}}{(3+4i)^{2014}} = \frac{(-8+6i)^{2013}}{(3+4i)^{2013}\cdot (3+4i)} = \frac{(-8+6i)^{2013}}{(3+4i)^{2013}}\cdot \frac{1}{3+4i} \end{eqnarray*}$

hatte ich schon noch vorausgesetzt.

Hab jetzt ausmultipliziert, komme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{2i^{2013}}{3+4i} \end{eqnarray*}$ ??

// EDIT $\begin{eqnarray*} i^{2013} \end{eqnarray*}$ müsste wenn ich korrekt liege, = i sein,

also hab ich jetzt stehen $\begin{eqnarray*} \frac{2i}{3+4i} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nochmal konjugierte Form einsetze um die komplexen Zahlen zu dividieren kommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{6i+8}{25} \end{eqnarray*}$

als Ergebnis, dann wäre 25 realer Teil und 6i+8 wohl der imaginäre.

05.11.2013, 17:31

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von bob123
$\begin{eqnarray*} \frac{2i^{2013}}{3+4i} \end{eqnarray*}$

Das ist fast richtig, es muss aber heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2i)^{2013}}{3+4i} \end{eqnarray*}$

In der Tat ist $\begin{eqnarray*} i^{2013}=i \end{eqnarray*}$ . Somit bleibt mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert

$\begin{eqnarray*} \frac{2^{2013} \cdot i \cdot(3-4i)}{25} = \frac {2^{2013} \cdot 4}{25} + \frac {2^{2013} \cdot 3}{25}i \end{eqnarray*}$

Realteil und Imaginärteil siehst Du nun selbst, oder?

Viele Grüße
Steffen

05.11.2013, 17:56

bob123

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Jup, links realer und rechts imaginärer, aber warum darf ich nicht die 2013 weglassen, also i^2013 ist doch i, wieso kann ich es nicht einfach weglassen?

05.11.2013, 18:02

Steffen Bühler

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Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{-8+6i}{3+4i} = \frac{(4i+3)2i}{3+4i} = 2i \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \left( \frac{-8+6i}{3+4i} \right) ^{2013} = (2i)^{2013} = 2^{2013} \cdot i^{2013} \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

06.11.2013, 19:00

bob123

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Würde jemand mir eben noch schnell mit dem Aufgabenteil B) helfen? ich hab es versucht aber komme zu keinem gescheiten Ergebnis. ich weiß dass die Lösung 1/2 + i1/2 ist...

07.11.2013, 08:55

Steffen Bühler

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Was hast Du denn schon versucht? Ich würde z=a+bi setzen und vereinfachen.

Viele Grüße
Steffen

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