Folge hat nur endlich viele Quadrate

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06.11.2013, 00:53	Sunny1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge hat nur endlich viele Quadrate Hallo, vielleicht könnt ihr mir mal wieder weiterhelfen: ich muss am Montag ein Assignment abgeben (und dazu noch 3 Essays...) und komme an einer Teilaufgabe kein Stück weiter. Vielleicht hat ja einer von euch eine Idee, würde mich freuen $\begin{eqnarray} n! + n^p - n + 2 \end{eqnarray}$ wird betrachtet, wobei $\begin{eqnarray} p \equiv 3,5 \text{mod} 8 \end{eqnarray}$ . Ich soll nun zeigen, dass es nur endlich viele Quadrate in dieser Form geben kann. Bisher hab ich mir alle möglichen Werte für n mod 5 angeschaut - nur möglich, wenn n = 3 mod 5, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Und dann ist auch nur p = 3 mod 8 möglich. Ist aber alles noch nicht strukturiert aufgeschrieben, also kann es auch gut sein, dass da was nicht so ganz stimmt... Wenn es nur endlich viele Werte gibt, so müsste es einen größten Wert für n,p geben, den ich explizit angeben können müsste. Grobe Idee ist, dass ich mir einen großen Primfaktor raussuche, der nicht doppelt vorkommen kann für alle n ab einer bestimmten Grenze. Aber in die Richtung krieg ich nichts auf die Reihe... Problem ist: ich bin von Freitag morgens bis Sonntag Nacht auf einer Tour, mir bleiben also nur noch die nächsten beiden Tage. Ich wäre um jeden Gedankenanstoß dankbar! Liebe Grüße aus GB, Sunny
06.11.2013, 16:30	Sunny1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich schon geklärt, mir hat es heute ein Kommolitone erklärt. mod p, dann mit quadratischer Reziprokität und Fermats kleinem Satz. Danke aber an alle, die sich das hier angeschaut haben
06.11.2013, 22:12	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
quadratische Reziprozität sagt mir nichts. Ja, ich weiß, frag google... Bevor ich das tue: Sagt die Lösung, wie viele Quadrate es gibt, oder nur, dass es endlich viele sind?
06.11.2013, 23:12	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
@URL: Der Beweis liefert die obere Schranke $\begin{eqnarray} n<p \end{eqnarray}$ . Ich bezweifle, dass man sinnvoll eine "Lösunganzahlfunktion" angeben kann. Es wird auch nur der 2. Ergänzungssatz zur quadr. Reziprozität benötigt.
06.11.2013, 23:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Kann es sein, dass es überhaupt kein Quadrat gibt?
06.11.2013, 23:24	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Für p=3,5 sehe ich z.B. keinerlei Quadrate.
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06.11.2013, 23:49	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \gamma(n)=n!+n^p-n+2=n!+n(n-1)(n^{p-2}+n^{p-3}+\ldots+n+1)+2 \end{eqnarray}$ durch 2 teilbar. Weil p ungerade ist, hat $\begin{eqnarray} n^{p-2}+n^{p-3}+\ldots+n+1 \end{eqnarray}$ eine gerade Anzahl von Summanden, ist für ungerades n also eine gerade Zahl. Für ungerade $\begin{eqnarray} n\geq 5 \end{eqnarray}$ ist also $\begin{eqnarray} \gamma(n) \end{eqnarray}$ nicht durch 4 teilbar, kann also kein Quadrat sein. Soweit richtig?
07.11.2013, 00:16	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Einwände.
07.11.2013, 00:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal weiter: $\begin{eqnarray} \gamma(3)=3^p+5 \equiv 2 \bmod 3 \end{eqnarray}$ . Das geht für kein Quadrat.
07.11.2013, 00:24	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Es gilt sogar $\begin{eqnarray} \gamma(n)=2 \mod n \end{eqnarray}$ für alle n. Aber blöde Frage: Was hast du vor?
07.11.2013, 00:30	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
wollte zeigen, dass es kein quadrat gibt. Aber das wird wohl nichts Immerhin kommen nur noch n mit $\begin{eqnarray} n \equiv 2 \bmod 4 \end{eqnarray}$ in Frage.

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