Beweis mit Primzahl

06.11.2013, 16:29	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Primzahl Hallo zusammen, hier einmal ein Aufgabentext: Für eine natürliche Zahl m sei $\begin{eqnarray} T(m)=\left\{ d\in \mathbb N \| 1\leq d<m , d\|m\right\} \end{eqnarray}$ die Menge der natürlichen Zahlen kleiner m, die m teilen. Also z.B. T(45)={1,3,5,9,15}. Sei nun n eine natürliche Zahl, für die $\begin{eqnarray} 2^{n+1}-1 \end{eqnarray}$ eine Primzahl ist. Sei $\begin{eqnarray} m=2^{n}(2^{n+1}-1) \end{eqnarray}$ . Zeigen sie folgende Aussagen: (i) $\begin{eqnarray} \| T(2^{n}) \|=2^{n-1}-1 \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} m=\sum\limits_{d\in T(m)}^n d \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass ich bei (i) mit Beispielen nur feststelle, dass die Aussage nicht stimmt. Bei (ii) bin ich soweit, dass ich weiss die Teilmenge ist $\begin{eqnarray} T(m)=\left\{ 1,2^{n},2^{n-1},...,2,\frac{m}{2},..., \frac{m}{2^{n}} \right\} \end{eqnarray}$ . Allerdings weiss ich nicht wie ich von diesen Elementen die Summe so bilden kann, dass erkenntlich ist, dass es gleich m ist. Danke schonmal für Denkanstöße!
06.11.2013, 17:20	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast bei der i) recht. Richtig ist $\begin{eqnarray} \|T(2^n)\|=n \end{eqnarray}$ (nach der hier angegebenen Def.) Bei der ii) sollte man dran denken, dass $\begin{eqnarray} 2^{n+1}-1 \end{eqnarray}$ als prim vorausgesetzt wird. Damit lassen sich die Teiler schnell hinschreiben. Das n im Summenzeichen ist wohl ein Tippfehler.
06.11.2013, 17:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht war ja bei (i) tatsächlich $\begin{eqnarray} \sum_{d\in T(2^n)} d = 2^n-1 \end{eqnarray}$ gemeint. Würde Sinn machen als Vorbereitung zu (ii), allerdings muss dazu wohl einiges schiefgelaufen sein in der Übertragung.
06.11.2013, 18:06	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Teiler bei (ii) sind doch dann $\begin{eqnarray} \left\{ 1,2,2^{2},...,2^{n}, (2^{n+1}-1)\right\} \end{eqnarray}$ Bei der Summe hätte ich doch dann die $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} 2^{k} \end{eqnarray}$ . Warum ist diese Summe dann m ?
06.11.2013, 18:14	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das T(m) ist falsch. Schon mal ein Beispiel durchgerechnet?
06.11.2013, 18:38	marcelneu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ich habe die brüche $\begin{eqnarray} \frac{m}{2}, \frac{m}{2^{2}}, ..., \frac{m}{2^{n-1}} \end{eqnarray}$ vergessen!
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