Unabhängige Familie von Mengensystemen

07.11.2013, 11:07

Spark22

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Unabhängige Familie von Mengensystemen

Hallo zusammen,

wir behandeln gerade die Unabhängigkeit von Mengensystemen und die Unabhängigkeit der von ihnen erzeugten \sigma-Algebren. Dazu habe ich jetzt eine Aufgabe bekommen, auf die ich mir einfach keinen Reim machen kann. Zu zeigen ist:

Sei $\begin{eqnarray*} (\mathcal{E}_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ eine unabhängige Familie von durchschnittstabilen Mengensystemen auf dem Messbaren Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A}) mit \mathcal{E}_i\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} (I_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Zerlegung von I, so sind auch die $\begin{eqnarray*} (\mathcal{A}_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_j := \sigma(\bigcup_{i\in I_j}\mathcal{E}_i) \end{eqnarray*}$
unabhängig.

Also Hinweis ist gegeben, dass für j\in J gesetzt werden soll:
$\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j := \{\bigcap_{k\in K} E_k : K\subset I_j\ endlich\ und\ E_k\in\mathcal{E}_k,\ fuer\ k\in K\} \end{eqnarray*}$

Dann soll gezeigt werden, dass
a) $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j \end{eqnarray*}$ durchschnittstabil ist für alle $\begin{eqnarray*} j\in J \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sigma(\tilde{\mathcal{E}}_j)=\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\in J \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} (\tilde{\mathcal{E}}_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ ist eine unabhängige Familie.

Also meine Frage ist nun, folgt nicht b) aus a) und c)? Also wenn ich doch zeige, dass das Mengensystem eine unabhängige Familie ist und auch noch durchschnittstabil, dann sind doch auch die $\begin{eqnarray*} \sigma(\tilde{\mathcal{E}}_j) \end{eqnarray*}$ unabhängig oder nicht? Das war mein erster Gedanke, aber ich habe nicht mal einen Ansatz zu der Aufgabe. Für mich ist c) doch schon durch die Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} (\mathcal{E}_i)_{i\in I} \end{eqnarray*}$ gegeben, da $\begin{eqnarray*} (\tilde{\mathcal{E}}_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ eine Teilfamilie davon ist. Außerdem ist a) doch auch gegeben durch die Darstellung von $\begin{eqnarray*} (\tilde{\mathcal{E}}_j)_{j\in J} \end{eqnarray*}$ . Oder muss ich die Durchschnittstabilität noch irgendwie zeigen? Aber da bin ich mit nicht sicher, da mich die Indizierung mir $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ sehr verwirrt. Daher wäre ich froh, wenn mir jemand ein wenig helfen könnte. Danke

07.11.2013, 11:16

HAL 9000

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RE: Unabhängige Familie von Mengensystemen

Zitat:

Original von Spark22
Also meine Frage ist nun, folgt nicht b) aus a) und c)? Also wenn ich doch zeige, dass das Mengensystem eine unabhängige Familie ist und auch noch durchschnittstabil, dann sind doch auch die $\begin{eqnarray*} \sigma(\tilde{\mathcal{E}}_j) \end{eqnarray*}$ unabhängig oder nicht?

Ja aber damit ist doch noch nicht die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \sigma(\tilde{\mathcal{E}}_j)=\mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ gezeigt - schließlich ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_j \end{eqnarray*}$ doch oben zunächst anderweitig definiert!

P.S.: Übrigens macht dein $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_i\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ in den Voraussetzungen wenig Sinn, es sollte $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_i\subseteq\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ heißen.

07.11.2013, 11:51

Spark22

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Ja klar, du hast recht. Hab mich einfach nur vertippt.
ich weiß, dass ich eigentlich nur noch b) zeigen muss, in dem ich die Gleichheit der Erzeuger zeige. Aber ich frage mich noch, warum a) gilt. Wie kann ich die Durchschnittstabilität begründen?

07.11.2013, 11:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spark22
Ja klar, du hast recht. Hab mich einfach nur vertippt.
ich weiß, dass ich eigentlich nur noch b) zeigen muss, in dem ich die Gleichheit der Erzeuger zeige. Aber ich frage mich noch, warum a) gilt. Wie kann ich die Durchschnittstabilität begründen?

Einfach indem du zwei Mengen aus dem System nimmst und überprüfst, ob auch ihr Durchschnitt im System ist - wie sonst.

07.11.2013, 12:03

Spark22

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Dazu müsste ich ja verstehen wie die Menge aussieht. Ich verstehe nicht so ganz die Zerlegung der Indexmenge und wie dann Schnitt über eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ von einer Partition der Indexmenge gemacht wird.

07.11.2013, 12:08

HAL 9000

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Du willst damit sagen, dass du die Symbolik

Zitat:

Original von Spark22
$\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j := \{\bigcap_{k\in K} E_k : K\subset I_j\ endlich\ und\ E_k\in\mathcal{E}_k,\ fuer\ k\in K\} \end{eqnarray*}$

nicht richtig verstehst? Es werden Schnittmengen von endlich vielen Mengen - ausgewählt aus der Gesamtheit aller Mengensysteme $\begin{eqnarray*} (\mathcal{E}_i)_{i\in I_j} \end{eqnarray*}$ - gebildet. Streng formal gesehen aus jedem Mengensystem höchstens eine Menge, aber wegen der vorausgesetzten Durchschnittsstabilität kann man diese Bedingung aufheben.

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07.11.2013, 15:46

Spark22

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Ja ich hänge bei der a). Ich habe mir einfach mal zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j \end{eqnarray*}$ genommen und geschnitten.
$\begin{eqnarray*} A_1=\bigcap_{k\in K}{E_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} K\subset I_j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=\bigcap_{k\in \tilde{K}}{\tilde{E}_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \tilde{K}\subset I_j \end{eqnarray*}$
Dann erhalte ich doch für den Schnitt:
$\begin{eqnarray*} A_1 \bigcap A_2=(\bigcap_{k\in K}{E_k})\bigcap (\bigcap_{k\in \tilde{K}}{\tilde{E}_k}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht irre, kann ich doch auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k\in K}{E_k})\bigcap (\bigcap_{k\in \tilde{K}}{\tilde{E}_k})=\bigcap_{k\in K\cap\tilde{K}}(E_k\cap\tilde{E}_k) \end{eqnarray*}$
Also muss ich doch zeigen, das zum einen $\begin{eqnarray*} K\cap\tilde{K}\subset I_j \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} E_k\cap\tilde{E}_k \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j \end{eqnarray*}$ liegt. Nur leider weiß ich nicht wie ich das zeige!

07.11.2013, 15:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spark22
Wenn ich mich nicht irre, kann ich doch auch schreiben:
$\begin{eqnarray*} (\bigcap_{k\in K}{E_k})\bigcap (\bigcap_{k\in \tilde{K}}{\tilde{E}_k})=\bigcap_{k\in K\cap\tilde{K}}(E_k\cap\tilde{E}_k) \end{eqnarray*}$

Du irrst!

07.11.2013, 15:56

Spark22

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Dann klär mich bitte auf.

07.11.2013, 16:00

HAL 9000

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Tatsächlich ist

$\begin{eqnarray*} A_1\cap A_2 = \left( \bigcap\limits_{k\in K\setminus \tilde{K}} E_k \right) \cap \left( \bigcap\limits_{k\in K\cap \tilde{K}} (E_k \cap \tilde{E}_k) \right) \cap \left( \bigcap\limits_{k\in \tilde{K}\setminus K} \tilde{E}_k \right) \end{eqnarray*}$

07.11.2013, 16:05

Spark22

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Aber wie zeige ich denn dann, dass die ganzen Mengen $\begin{eqnarray*} K\cap \tilde{K} \end{eqnarray*}$ usw. in $\begin{eqnarray*} I_j \end{eqnarray*}$ liegen? Und vor allem, dass der Schnitt eben selbst wieder in $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j \end{eqnarray*}$ liegt?

07.11.2013, 16:17

HAL 9000

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Hast du denn vollkommen den Überblick verloren? Eigentlich muss man hier ja nur einen kleinen Indexkrieg gewinnen - inhaltlich ist das todlangweilig. unglücklich

unglücklich

Soweit ich es verstanden habe, gehst du ja von $\begin{eqnarray*} E_k,\tilde{E}_k\in \mathcal{E}_k \end{eqnarray*}$ aus. Da $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_k \end{eqnarray*}$ als durchschnittsstabil vorausgesetzt wurde, gilt insbesondere für die $\begin{eqnarray*} k\in K\cap \tilde{K} \end{eqnarray*}$ aus dem "mittleren" großen Durchschnitt, dass $\begin{eqnarray*} \hat{E}_k := E_k \cap \tilde{E}_k \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} \mathcal{E}_k \end{eqnarray*}$ liegt, dann ist

$\begin{eqnarray*} A_1\cap A_2 = \left( \bigcap\limits_{k\in K\setminus \tilde{K}} E_k \right) \cap \left( \bigcap\limits_{k\in K\cap \tilde{K}} \hat{E}_k \right) \cap \left( \bigcap\limits_{k\in \tilde{K}\setminus K} \tilde{E}_k \right) \qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Und wegen $\begin{eqnarray*} K\subseteq I_j,\tilde{K}\subseteq I_j \end{eqnarray*}$ (beide endlich) ist dann auch die disjukte Vereinigung der Indexmengen $\begin{eqnarray*} (K\setminus \tilde{K}) \cup (K\cap \tilde{K}) \cup (\tilde{K}\setminus K) \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} I_j \end{eqnarray*}$ , womit die Menge (*) klar zur $\begin{eqnarray*} \tilde{\mathcal{E}}_j \end{eqnarray*}$ gehört.

07.11.2013, 16:48

Spark22

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Aber wieso gehst du denn von $\begin{eqnarray*} E_k,\tilde{E}_k\in \mathcal{E}_k \end{eqnarray*}$ aus. Ich beziehe mich doch bei den zwei Elementen auf verschiedene Indexmengen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{K} \end{eqnarray*}$ !?!

Und JA, ich bin vollkommen durcheinander!!!

07.11.2013, 17:01

HAL 9000

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Wenn es um $\begin{eqnarray*} k\in K\cap \tilde{K} \end{eqnarray*}$ geht, dann liegt dieses $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ in beiden Indexmengen, was ja durchaus möglich sein kann.

08.11.2013, 10:46

Spark22

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Ich weiß nicht was mein Problem mit der Aufgabe ist. Scheinbar ist die nicht sehr schwer, aber ich verstehe es einfach nicht. Wie kann ich denn ein $\begin{eqnarray*} I_j \end{eqnarray*}$ verstehen? Ich weiß namlich nicht ob zwei Teilmengen daraus disjunkt sein können oder nicht und wie ich diese Zerlegung interpretieren soll. Und selbst wenn ich die Durchschnittstabilität gezeigt habe, weiß ich nicht wie ich weitermachen muss.

08.11.2013, 11:22

mengi

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zur Info:
matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=187907

08.11.2013, 14:46

Spark22

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Ahhhhh..... ich habe die Durchschnittstabilität verstanden. Entschuldigung. Allerdings weiß ich nicht so recht wie ich b) angehen soll. C) konnte ich mir ja nich zusammen reimen, aber b) macht mir irgendwie Kopfschmerzen. Muss ich nur die Erzeuger vergleichen oder die kompletten $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren???

08.11.2013, 15:24

HAL 9000

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Crossposting

Zitat:

Original von mengi
matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=187907

Also gehört auch Spark22 zu jenen Individuen die meinen, das halbe Internet darf für sie arbeiten. Bis zum nächsten Mal bitte mal das Prinzip "Mathe online verstehen!" durchlesen. böse

böse

08.11.2013, 16:21

Spark22

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Nein ich lasse nicht für mich arbeiten. Ich versuche die Aufgaben soweit es geht zu verstehen und frage dann nach Tipps oder vergewissere mich ob meine Ansätze richtig sind. Allerdings höre ich gerne die Meinung von mehreren und hole mir einfach nur ideen. Oder schreibe ich etwa: Hier ist die Aufgabe, bitte lösen. Nein, ich stelle nur die Aufgabe vor und schildere mejn Problem damit. Der Grund warum ich auf zwei Foren die selbe Frage gestellt habe ist ganz einfach. Ich verstehe die Aufgabe einfach nicht und das obwohl ich seit Tagen darüber nachdenke und Bücher dazu lese.

08.11.2013, 19:31

HAL 9000

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Wahrscheinlich siehst du dich mit deinem störrischen "Nein, Nein, Nein" auch noch im Recht, die Boardregeln zu verletzen. Übel, ganz übel. Finger2

Finger2

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