Unabhängige Familie von Mengensystemen

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Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängige Familie von Mengensystemen
Hallo zusammen,

wir behandeln gerade die Unabhängigkeit von Mengensystemen und die Unabhängigkeit der von ihnen erzeugten \sigma-Algebren. Dazu habe ich jetzt eine Aufgabe bekommen, auf die ich mir einfach keinen Reim machen kann. Zu zeigen ist:

Sei eine unabhängige Familie von durchschnittstabilen Mengensystemen auf dem Messbaren Raum für alle und sei eine disjunkte Zerlegung von I, so sind auch die mit

unabhängig.

Also Hinweis ist gegeben, dass für j\in J gesetzt werden soll:


Dann soll gezeigt werden, dass
a) durchschnittstabil ist für alle
b) für alle
c) ist eine unabhängige Familie.

Also meine Frage ist nun, folgt nicht b) aus a) und c)? Also wenn ich doch zeige, dass das Mengensystem eine unabhängige Familie ist und auch noch durchschnittstabil, dann sind doch auch die unabhängig oder nicht? Das war mein erster Gedanke, aber ich habe nicht mal einen Ansatz zu der Aufgabe. Für mich ist c) doch schon durch die Unabhängigkeit der gegeben, da eine Teilfamilie davon ist. Außerdem ist a) doch auch gegeben durch die Darstellung von . Oder muss ich die Durchschnittstabilität noch irgendwie zeigen? Aber da bin ich mit nicht sicher, da mich die Indizierung mir sehr verwirrt. Daher wäre ich froh, wenn mir jemand ein wenig helfen könnte. Danke
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unabhängige Familie von Mengensystemen
Zitat:
Original von Spark22
Also meine Frage ist nun, folgt nicht b) aus a) und c)? Also wenn ich doch zeige, dass das Mengensystem eine unabhängige Familie ist und auch noch durchschnittstabil, dann sind doch auch die unabhängig oder nicht?

Ja aber damit ist doch noch nicht die Gleichheit gezeigt - schließlich ist doch oben zunächst anderweitig definiert!

P.S.: Übrigens macht dein in den Voraussetzungen wenig Sinn, es sollte heißen.
 
 
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar, du hast recht. Hab mich einfach nur vertippt.
ich weiß, dass ich eigentlich nur noch b) zeigen muss, in dem ich die Gleichheit der Erzeuger zeige. Aber ich frage mich noch, warum a) gilt. Wie kann ich die Durchschnittstabilität begründen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spark22
Ja klar, du hast recht. Hab mich einfach nur vertippt.
ich weiß, dass ich eigentlich nur noch b) zeigen muss, in dem ich die Gleichheit der Erzeuger zeige. Aber ich frage mich noch, warum a) gilt. Wie kann ich die Durchschnittstabilität begründen?

Einfach indem du zwei Mengen aus dem System nimmst und überprüfst, ob auch ihr Durchschnitt im System ist - wie sonst.
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu müsste ich ja verstehen wie die Menge aussieht. Ich verstehe nicht so ganz die Zerlegung der Indexmenge und wie dann Schnitt über eine Teilmenge von einer Partition der Indexmenge gemacht wird.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst damit sagen, dass du die Symbolik

Zitat:
Original von Spark22

nicht richtig verstehst? Es werden Schnittmengen von endlich vielen Mengen - ausgewählt aus der Gesamtheit aller Mengensysteme - gebildet. Streng formal gesehen aus jedem Mengensystem höchstens eine Menge, aber wegen der vorausgesetzten Durchschnittsstabilität kann man diese Bedingung aufheben.
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich hänge bei der a). Ich habe mir einfach mal zwei Elemente aus genommen und geschnitten.
mit
mit
Dann erhalte ich doch für den Schnitt:


Wenn ich mich nicht irre, kann ich doch auch schreiben:

Also muss ich doch zeigen, das zum einen und das in liegt. Nur leider weiß ich nicht wie ich das zeige!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Spark22
Wenn ich mich nicht irre, kann ich doch auch schreiben:

Du irrst!
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann klär mich bitte auf.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tatsächlich ist

Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wie zeige ich denn dann, dass die ganzen Mengen usw. in liegen? Und vor allem, dass der Schnitt eben selbst wieder in liegt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn vollkommen den Überblick verloren? Eigentlich muss man hier ja nur einen kleinen Indexkrieg gewinnen - inhaltlich ist das todlangweilig. unglücklich

Soweit ich es verstanden habe, gehst du ja von aus. Da als durchschnittsstabil vorausgesetzt wurde, gilt insbesondere für die aus dem "mittleren" großen Durchschnitt, dass auch in liegt, dann ist

.

Und wegen (beide endlich) ist dann auch die disjukte Vereinigung der Indexmengen eine endliche Teilmenge von , womit die Menge (*) klar zur gehört.
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wieso gehst du denn von aus. Ich beziehe mich doch bei den zwei Elementen auf verschiedene Indexmengen und !?!

Und JA, ich bin vollkommen durcheinander!!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es um geht, dann liegt dieses in beiden Indexmengen, was ja durchaus möglich sein kann.
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht was mein Problem mit der Aufgabe ist. Scheinbar ist die nicht sehr schwer, aber ich verstehe es einfach nicht. Wie kann ich denn ein verstehen? Ich weiß namlich nicht ob zwei Teilmengen daraus disjunkt sein können oder nicht und wie ich diese Zerlegung interpretieren soll. Und selbst wenn ich die Durchschnittstabilität gezeigt habe, weiß ich nicht wie ich weitermachen muss.
mengi Auf diesen Beitrag antworten »

zur Info:
matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=187907
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh..... ich habe die Durchschnittstabilität verstanden. Entschuldigung. Allerdings weiß ich nicht so recht wie ich b) angehen soll. C) konnte ich mir ja nich zusammen reimen, aber b) macht mir irgendwie Kopfschmerzen. Muss ich nur die Erzeuger vergleichen oder die kompletten -Algebren???
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Crossposting
Zitat:
Original von mengi
matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=187907

Also gehört auch Spark22 zu jenen Individuen die meinen, das halbe Internet darf für sie arbeiten. Bis zum nächsten Mal bitte mal das Prinzip "Mathe online verstehen!" durchlesen. böse
Spark22 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich lasse nicht für mich arbeiten. Ich versuche die Aufgaben soweit es geht zu verstehen und frage dann nach Tipps oder vergewissere mich ob meine Ansätze richtig sind. Allerdings höre ich gerne die Meinung von mehreren und hole mir einfach nur ideen. Oder schreibe ich etwa: Hier ist die Aufgabe, bitte lösen. Nein, ich stelle nur die Aufgabe vor und schildere mejn Problem damit. Der Grund warum ich auf zwei Foren die selbe Frage gestellt habe ist ganz einfach. Ich verstehe die Aufgabe einfach nicht und das obwohl ich seit Tagen darüber nachdenke und Bücher dazu lese.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich siehst du dich mit deinem störrischen "Nein, Nein, Nein" auch noch im Recht, die Boardregeln zu verletzen. Übel, ganz übel. Finger2
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