Basis und Dimension linearer Teilräume

09.11.2013, 10:58	Läürä	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Dimension linearer Teilräume Hi, ich muss zu gegebenen Teilräumen jeweils die Basis und die Dimension angeben. Weil unser Prof das nicht so wirklich erklärt hab bin ich mir bei meinen Lösungen oder Ansätzen noch unsicher. a) $\begin{eqnarray} W1=Lin(\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Dazu hab ich jetzt folgendes Gleichungssystem aufgestellt: 1 = 5k+l+4m 5 = k+4l+m Das kann ich allerdings nicht lösen... Was sagt mir das jetzt? Sind die Vektoren nun linear abhängig oder linear unabhängig? b) $\begin{eqnarray} W2=(\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray}$ Hier hab ich jetzt auch wieder ein Gleichungssystem aufgestellt und gelöst und rausbekommen, dass die Vektoren linear abh. sind also keine Basis von W2 bilden. Dann hab ich einfach 2 von den 3 Vektoren ausgewählt, die nicht lin.abh. sind und die als Basis festgelegt (Geht das einfach so?) Und die Dimension von W2 ist jetzt die Anzahl der Vektoren in der Basis also 2 (?). c) $\begin{eqnarray} W3=(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\-1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ Selbes Spiel wie bei der b) mit einem LGS. 1=0 1=k+m 1=2k-l+m 1=3k+l+2m Wegen der 1. Zeile gilt doch lineare Unabh. (?). Also sind die 4 Vektoren eine Basis von W3 und die Dimension ist 4. (?) Stimmen meine Überlegungen oder bin ich auf dem Holzweg?
09.11.2013, 13:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht man nicht mit Gleichungssystemen. Man schreibt die Vektoren in eine Matrix und bestimmt den Rang (Zeilenrang = Spaltenrang) der Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus. Der Rang ist die Dimension des Vektorraums, den die Vektoren aufspannen.
09.11.2013, 15:45	Läürä	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt es nicht auf dasselbe eig raus ob ich das jetzt mit einem Gleichungssystem mache oder den Rang einer Matrix berechne? Ich hab mir das eben mal bisschen gegoogelt, weil ich noch nie den Rang einer Matrix bestimmt habe, aber meine dass es eig dergleiche Weg ist nur anders aufgeschrieben. Und wie bestimme ich die Basis? Sind da meine Ansätze richtig?
09.11.2013, 17:53	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dein Ansatz ist völlig unmotiviert und ganz und gar falsch. Zu a) kann ich dir noch einen ganz einfachen Tipp geben, denn in diesem Beispiel sieht man sofort, dass die ersten beiden Vektoren linear unabhängig sind, sie bilden also eine Basis des 2-dimensionalen Vektorraumes. b) kann ein maximal 3-dimensionaler VR c) ein maximal 4-dimensionaler VR sein. Da hilft nur Gauß.
09.11.2013, 21:06	Läürä	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay dann mit Gauß: a) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 4 \\ 5 & 1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & -24 & 1 & -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weil ich keine Nullzeile bekommen werde heißt das also jetzt das die Dimension und W1 2 ist und als Basis pick ich mir die linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heraus und das ist meine Basis von W2. b) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 8 & 1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 5 & 10 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich hieraus schließen, dass wegen der Nullzeile die Dimension 2 ist. Um die Basis jetzt anzugeben muss ich doch einfach 2 linear unabhängige Vektoren auswählen, oder? Also $\begin{eqnarray} B=\left\{\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hierbei hab ich es durch keine Rechenschritte hinbekommen eine Nullzeile zu erzeugen und deshalb ist die Dimension 4. Und alle vier Vektoren bilden somit die Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray} B=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Ist der Weg so korrekt?
10.11.2013, 11:15	Läürä	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur c) hab ich doch eine Nulllzeile hinbekommen, hab was übersehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Dimension des Vektorraums ist folglich 3. Aber wie finde ich nun die Vektoren die eine Basis bilden? Einfach 3 herausnehmen und nochmal auf lineare Unabhängigkeit testen?
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10.11.2013, 13:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also, geht doch. Wenn du die n Vektoren als Zeilenvektoren und nicht als Spaltenvektoren in die Matrix schreibst, sind die ersten m<=n linear unabhängigen Zeilenvektoren eine Basis des m-dimensionalen Untervektorraums. In diesem Beispiel sieht man aber auch, dass die 3 ersten Spalten l.u. sind. Anmerkung: Eine Basis, nicht die Basis. Ein Vektorraum hat viele Basen, jede Basis hat gleichviele Vektoren, die Anzahl der Vektoren einer Basis heißt Dimension des Vektorraums.

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