Kombinatorik: 9 Personen im Zug

09.11.2013, 15:01

SchwirrenderKopf

Kombinatorik: 9 Personen im Zug

Meine Frage:
Neun Personen besteigen einen Zug mit drei Wagen. Jede Person wählt unabhängig von den anderen Personen einen Wagen.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass genau drei Personen in den ersten Wagen steigen?

b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass mindestens drei Personen in den ersten Wagen steigen?

c) Wie viel Möglichkeiten gibt es, dass jeweils drei Personen in jeden Wagen steigen.

Meine Ideen:
Ich zerbreche mir schon ewig den Kopf über diese Aufgabe.
Zuerst? Sind die Personen bestimmt oder unbestimmt? Steht meines Erachtens nicht in der Aufgabenstellung.

Da bei unbestimmten Personen c) recht einfach zu lösen wäre (nur eine Möglichkeit: 3 - 3 - 3) denke ich, dass wir hier mit bestimmten Personen rechnen. (oder hat die Formulierung, dass sie unabhängig wählen was zu sagen?)

a) $\begin{eqnarray*} \frac{3!}{2!} \times\frac{6!}{4!} = 90 \end{eqnarray*}$
Es gibt 90 Möglichkeiten, wenn die Personen bestimmt sind und die Reihenfolge berücksichtigt wird...
Und wenn die Reihenfolge nicht berücksichtigt wird? nur 6!/4!=30?

b) ich weiß es nicht. Überlegung:
$\begin{eqnarray*} 3\times \frac{6!}{4!} \times 4\times \frac{5!}{3!}\times 5\times \frac{4!}{2!}\times6\times \frac{3!}{2!} \end{eqnarray*}$
Allerding denke ich man muss noch Möglichkeiten addieren, da ja auch Wagons leer sein dürfen.
Und dies müsste denke ich wieder für eine berücksichtigte Reihenfolge gelten, wenn nicht, dann nur (6!/4!)*(5!/3!)*(4!/2!)*...?

c) 9!/6!= 504? (berücksichtigte Reihenfolge, bestimmte Personen)

Danke für eure Hilfe, sitze hier schon seit stunden und mir schwirrt der kopf von all den Möglichkeiten (Reihenfolge, Zurücklegen, bestimmt, unbestimmt,...) die es bei Kombinatorik gibt.
Schönen Samstag euch...

09.11.2013, 15:19

HAL 9000

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Personen sind Individuen und damit unterscheidbar. Auch wenn es nicht direkt gefragt wird, sollte man erstmal die Anzahl aller Möglichkeiten der Wagenwahl (d.h. ohne jede Zusatzbedingungen) berechnen:

Es wird 9-mal gewählt aus 3 Wagen mit Wiederholung (in jeden Wagen dürfen ja mehrere einsteigen) und mit Berücksichtigung der Reihenfolge (wegen der Unterscheidbarkeit der Personen), das ergibt $\begin{eqnarray*} 3^9 = 19683 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten (Variationen mit Wiederholung).

So, zunächst mal nur zu a):

Es gibt $\begin{eqnarray*} \binom{9}{3} \end{eqnarray*}$ Kombinationen für die Auswahl genau der 3 Personen, die in den ersten Wagen einsteigen. Die anderen 6 Personen steigen in Wagen 2 oder 3 ein, dafür gibt es (analog zur Berechnung der Anzahl der Gesamtmöglichkeiten) genau $\begin{eqnarray*} 2^6 \end{eqnarray*}$ Variationen. Daher lautet die Antwort zu a)

$\begin{eqnarray*} \binom{9}{3} \cdot 2^6 = 84\cdot 64 = 5376 \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 15:55

SchwirrenderKopf

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Ah, alles klar. Das zeigt mir, ich habe mir etwas falsch vorgestellt:
Die Menschen im Zug sind also mit Wiederholungen, da k hier nicht die Menschen sind, sondern die Zugabteile, das habe ich übersehen.

bei der Berechnung des ersten Abteiles rechnet man aber drei Personen aus einer Menge von 9, deshalb $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9\\3\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
also ohne Wiederholung (Menschen können nicht zweimal im Abteil verhanden sein) und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge, denn es ist egal in welcher Reihenfolge die Menschen im Zug sitzen.
Und im Term $\begin{eqnarray*} 2^6 \end{eqnarray*}$ ist auch schon berücksichtigt, dass ein Abteil leer sein kann, oder?

b) Auf a) aufbauend könnte ich mir vorstellen, dass hier die Berechnung ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9\\3\\\end{pmatrix} \times 2^6 \times \begin{pmatrix} 9\\4\\\end{pmatrix} \times 2^5\times \begin{pmatrix} 9\\5\\\end{pmatrix} \times 2^4\times\begin{pmatrix} 9\\6\\\end{pmatrix} \times 2^3\times\begin{pmatrix} 9\\7\\\end{pmatrix} \times 2^2\times\begin{pmatrix} 9\\8\\\end{pmatrix} \times 2^1\times \end{eqnarray*}$

09.11.2013, 16:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
b) Auf a) aufbauend könnte ich mir vorstellen, dass hier die Berechnung ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9\\3\\\end{pmatrix} \times 2^6 \times \begin{pmatrix} 9\\4\\\end{pmatrix} \times 2^5\times \begin{pmatrix} 9\\5\\\end{pmatrix} \times 2^4\times\begin{pmatrix} 9\\6\\\end{pmatrix} \times 2^3\times\begin{pmatrix} 9\\7\\\end{pmatrix} \times 2^2\times\begin{pmatrix} 9\\8\\\end{pmatrix} \times 2^1\times \end{eqnarray*}$

Dieser Multiplikationsrausch trägt ja schon wahnhafte Züge. geschockt

Wenn man Teilanzahlen aus verschiedenen, disjunkten Fällen hat, dann addiert man die statt zu multiplizieren! Das ist was völlig anderes, als wenn man Teilauswahlen in ein- und demselben Fall miteinander kombiniert (Stichwort: kartesisches Produkt), wie etwa oben bei dem $\begin{eqnarray*} \binom{9}{3}\cdot 2^6 \end{eqnarray*}$ . unglücklich

09.11.2013, 16:41

SchwirrenderKopf

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Mh, ok, alles klar. Mir kam die Zahl auch zu hoch vor verwirrt

Aber wenn ich die werte addiere $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9\\3\\\end{pmatrix}\times \cdot 2^6 + \begin{pmatrix} 9\\ 4\\ \end{pmatrix}\times 2^5...\begin{pmatrix} 9\\9\\ \end{pmatrix} \times 2^0=12259 \end{eqnarray*}$
käme 12259 heraus... Könnte doch stimmen?!

Zu c)
meine Vermutung: Wir betrachten hier wieder die Personen, im ersten Wagon sind 3 aus 9 zu nehmen, im 2. 3 aus 6, im dritten 3 aus 3, also: Reihenfolge irrelevant, ohne zurücklegen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9\\ 3\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\\end{pmatrix} = 1680 \end{eqnarray*}$
Hier würde ich wieder multiplizieren... Wieso kann ich dir nicht mal sagen, ich denke weil es sich hier wieder auf einen Fall bezieht und nicht auf mehrere wie in b), hab es aber nicht wirklich verstanden wann plus und wann mal...

Ich danke dir wirklich für deine Hilfe. Den ganzen Tag sitz ich hier schon und komm nicht recht weiter...

09.11.2013, 16:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Aber wenn ich die werte addiere $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9\\3\\\end{pmatrix}\times \cdot 2^6 + \begin{pmatrix} 9\\ 4\\ \end{pmatrix}\times 2^5...\begin{pmatrix} 9\\9\\ \end{pmatrix} \times 2^0=12259 \end{eqnarray*}$
käme 12259 heraus... Könnte doch stimmen?!

Ja, das ist richtig. Ich hätte allerdings besser etwas Arbeit gespart und das ganze über das Komplement "weniger als 3 in Wagen 1" ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} 3^9 - \binom{9}{0}2^9 - \binom{9}{1}2^8 - \binom{9}{2}2^7 = 12259 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von SchwirrenderKopf
Zu c)
meine Vermutung: Wir betrachten hier wieder die Personen, im ersten Wagon sind 3 aus 9 zu nehmen, im 2. 3 aus 6, im dritten 3 aus 3, also: Reihenfolge irrelevant, ohne zurücklegen

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9\\ 3\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\\end{pmatrix} = 1680 \end{eqnarray*}$

Ja, ist ebenfalls richtig.

10.11.2013, 11:57

SchwirrenderKopf

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Vlielen vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.
Durch die lange und Intensive Beschäftigung mit dieser Aufgabe und am schluss die auflösung habe ich jetzt mehr verständnis für das.
smile

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