Schnitt zweier Untervektorräume

09.11.2013, 17:01

IXI Cion

Schnitt zweier Untervektorräume

Meine Frage:
Gegeben sind 2 UVR: $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V = \begin{pmatrix} 2 \\4 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus soll man den Schnitt $\begin{eqnarray*} U\cap V \end{eqnarray*}$ berechnen und die Basis bestimmen

Meine Ideen:
Wollte mit dem Zassenhaus Algorhitmus ansetzen, tue mich jedoch etwas schwer an der $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ gibt es eine Möglichkeit die irgendwie anders zu umschreiben damit es leichter zu lösen ist ?

09.11.2013, 18:13

Elvis

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Wieso brauchst du dafür einen Algorithmus ? Genügt für einen reellen VR nicht der einfache Ansatz für Vektoren aus dem Durchschnitt $\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}+\delta \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

09.11.2013, 18:45

IXI Cion

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Wie hast du denn aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemacht ? :/

09.11.2013, 18:51

Elvis

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Genau dann wenn $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt 3 \end{pmatrix}\in V\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt 3} 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\in V \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

Genau so mache ich aus (2,4,0) auch (1,2,0). Goethes Faust : "Aus 2 mach 1, das ist das Hexeneinmaleins" Augenzwinkern

09.11.2013, 19:34

IXI Cion

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$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch auflösen des LGS komme ich auf $\begin{eqnarray*} \alpha = 1, \beta = 2, \gamma = -1 \end{eqnarray*}$

Wäre jetzt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis der beiden Vektorräume ?

09.11.2013, 19:47

Elvis

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Dein Lösungsweg ist mir nicht klar, aber das Ergebnis habe ich auch.

09.11.2013, 20:03

IXI Cion

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$\begin{eqnarray*} I: 0 = \alpha*1+\gamma*1 => -\alpha = \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II: 0 = 1*\beta +2*\gamma => \beta = -2*\gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III: 1 = 1*(-\alpha) +1*\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} II \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} III \end{eqnarray*}$ einsetzen: $\begin{eqnarray*} 1 = \gamma + (-2*\gamma) => \gamma = -1 \end{eqnarray*}$

Dann in die anderen beiden eingesetzt und die Werte für Alpha und Beta ausgerechnet, stimmt doch so oder ? smile

10.11.2013, 01:49

akamanston

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Zitat:

Original von IXI Cion
$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hier fehlt doch das sigma oder nicht? und die rechenzeichen sind doch auch falsch oder nicht^^

es müsste doch so aussehen ?

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 13:49

Elvis

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Ja, daraus ergibt sich das delta, das du aus Versehen sigma nennst. Und dann ist $\begin{eqnarray*} \alpha=\gamma=\delta, \beta=2\gamma \Rightarrow U\cap V=\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

10.11.2013, 22:20

akamanston

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wenn ich

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-\gamma \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \sigma\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nach null auflöse und eine matrix drausmache, kommen bei mir aber vektoren im R4 heraus.

(alpha,0, -alpha) + (0,b,b) - (c,2c,0) - (0,0,d)=0

matrix:
1 0 -1 0 0
0 1 -2 0 0
-1 1 0 -1 0

gaußen...
und dann muss ich variable einführen. und natürlich kommt ein vektor im R4 heraus. was mache ich falsch?

12.11.2013, 01:46

mYthos

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Weshalb R4? Nö, das ist eine Vektorgleichung in R3 und das bleibt sie auch, auch wenn es nur 3 Gleichungen in 4 Variablen gibt.
In Wirklichkeit sind es bei dem homogenen System eh nur 3 Variablen, denn wir könnten eine herausnehmen und die ganze Vektorgleichung durch diese dividieren (weil keine gleich Null ist) oder auch diese einfach als wählbar (bekannt) voraussetzen, dann entstehen 3 neue Variablen.

Im Lösungsverlauf (eigentlich geht das auch ohne Gauß ganz schnell) wirst du sehen, dass wegen der Redundanz (eine Variable mehr als Gleichungen vorhanden) diese ( $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ) als bekannt belassen werden kann und damit die anderen drei zu berechnen sind.
Es ergeben sich genau die Lösungen, die Elvis in seinem letzten Beitrag bereits genannt hat.

mY+

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