Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter

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09.11.2013, 19:04	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter Meine Frage: Ich habe ein Problem mit der Umformung einer Matrix die eine Unbekannte enthält, bzw. weiß ich nicht ob das was ich gemacht habe überhaupt richtig ist. Die Frage ist folgende: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & x & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon soll ich die Lösungsmenge $\begin{eqnarray} Ax = b \end{eqnarray}$ bestimmen wobei $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & x & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ \|II - 2I $\begin{eqnarray} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ \|III - I $\begin{eqnarray} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ \|II und III vertauschen $\begin{eqnarray} =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ Weiß jetzt nicht weiter was ich damit anfangen soll :/
09.11.2013, 19:44	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter EDIT: $\begin{eqnarray} Ay = b \end{eqnarray}$
09.11.2013, 21:51	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter Hallo, das dritte Gleichheitszeichen stimmt nicht, der letzte Eintrag muss 1-3=-2 sein. Dann kannst du eine neue Zeile einfügen, wobei du in der letzten Spalte einen Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ einfügst und dann weiter ausräumst. Grüße, Dominik
10.11.2013, 13:41	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter Ich versteh nicht so ganz was du meinst Kannst du mir vielleichtt ein Beispiel zeigen oder mir erklären was du da genau meinst ? :/
10.11.2013, 13:43	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter Hallo, siehst du denn welchen Rechenfehler ich meine? Schau mal hier. Dort habe ich es auch nochmal erklärt. Viele Grüße, Dominik
10.11.2013, 15:25	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß Elimination auf Matrix mit Unbekannter Hey, um ehrlich zu sein seh ich meinen Rechenfehler nicht das mit der neuen Zeile hab ich mir in deinem anderem Post angeschaut, aber ich weiß nicht wie ich es damit schaffe bei $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ x \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ aus dem x eine 1 zu machen
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10.11.2013, 15:28	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du ziehst dort die erste Zeile von der dritten ab, richtig? Das heißt im letzten Eintrag der letzten Zeile rechnest du 1-3=-2 und du hast dort eine -3 stehen. siehst du den Fehler jetzt? Das ist ansonsten aschon fast richtig, nur dass du den Parameter nicht auch x nenen solltest, sondern anders, da es x ja schon gibt. Viele Grüße, Dominik \edit: Ich habe zuerst die 1 oben in der letzten Spalte übersehen, wie kommt die dahin?
10.11.2013, 15:55	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah okay, ich sehe es grade facepalm. Also müsste es so sein ? $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn ich das nun so habe, brauche ich ja in der diagonalen überall einsen, aber wie schaffe ich das denn aus x-2 eine 1 zu machen, wenn ich keine Möglichkeit habe dies durch eine andere Zeile abzuziehen ? Die 1 in der letzten Spalte ist das b = (1,2,1) und da bleibt bei mir 1 oben übrig.
10.11.2013, 15:59	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, so stimmt es Eliminiere zunächst einmal mit der eins in der letzten Spalte ganz unten die restlichen Einträge dieser Spalte, dann hast du die Matrix auf Diagonalgestalt gebracht. Was weißt du dann über die Lösungsmenge? Viele Grüße, Dominik
10.11.2013, 16:26	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x-2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1-3y \\ 2y \\ 0 \\ y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha + \gamma = 1 - 3y \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \alpha + \gamma = 1 - 3 \delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \beta = 2y \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \beta = 2 \delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x-2)\gamma = 0 \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} x = 2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \gamma = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta = y \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} \delta = \frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ Weiß jetzt nicht genau was mir das über meine Lösungsmenge aussagt
10.11.2013, 16:37	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit so gut. Du solltest nun an der Matrix folgendes sehen: Ist x=2, so ist der Rang der Matrix =3, sonst ist er vier. Diese Fälle kannst du nun getrennt abhandeln. Viele Grüße, Dominik
10.11.2013, 17:09	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Also irgendwie verstehe ich das nicht und das sieht nach ziemlichem Schwachsinn aus, aber das ist das was ich irgendwie raus bekommen habe :/ Für x = 2: $\begin{eqnarray} a+c+3d = 1, b-2d = 0 \end{eqnarray}$ Für x beliebig und nicht 2: $\begin{eqnarray} 2d = b, b = \frac{d}{2}, a = 1-3d \end{eqnarray}$ Weiß nich so recht was ich damit anfangen kann :/
10.11.2013, 17:45	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt was anderes, bin mir aber auch nicht sicher ob das so stimmt: Für x = 2 : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für x beliebig: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
10.11.2013, 18:07	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das kann schon formal nicht funktionieren. Du suchst ja ein $\begin{eqnarray} y\in \mathbb R^{4\times 1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A\cdot y=b \end{eqnarray}$ . Für x=2 hast du aber einen Vektor aus $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3\times 1} \end{eqnarray}$ ausgerechnet. Wie willst du den Vektor denn an die Matrix multiplizieren? Überlege dir, was du bei den Bedingungen raushast, wenn x=2 ist. Dann überlegst du dir, was bei $\begin{eqnarray} x\neq 2 \end{eqnarray}$ passiert, das geht genau so wie du es beim Lösen von inhomogenen Gleichungssystemen ohne Variable gelernt hast. Grüße, Dominik
10.11.2013, 18:59	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal als Frage, da ich mir grade nicht mehr sicher bin was ich überahupt als Lösung angeben muss :/ Ist es ein bestimmter Vektor den ich herausfinden will, für den b rauskommt, wenn ich ihn mit A multipliziere oder soll da eine Lösung kommen, die Abhängig von x ist ?
10.11.2013, 20:00	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Lösung wird von x abhängen, das heißt dein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ wird ein Vektor sein, in dem x steht. Viele Grüße, Dominik

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