4x4 Matrix und eine Basis

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akamanston Auf diesen Beitrag antworten »
4x4 Matrix und eine Basis
hihi nochmal

gegeben ist die 4x4 matrix

-1 0 -1 2
0 -1 2 -1
-1 2 -1 0
2 -1 0 -1

ich soll eine basis bestimmen.
wenn ich die matrix auf zeilenstufenform umforme dann entsteht eine null zeile- ist ja ok.
muss ich anschließend einfach eien freie variable wählen und dann die parametrisierung bilden? dort kann ich dann die basis rauslesen.

oder wird es bei eienr 4x4 matrix komplizierter?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wovon genau willst du eine Basis bestimmen? Vom Bild dieser Matrix, oder von dem Teilraum der von den Spaltenvektoren der Matrix erzeugt wird? Das wird aus deinem Post nicht klar..

Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

eine basis für den lösungsraum

wieso macht das ein unterschied?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
poste doch bitte einmal die gesamte Aufgabe, damit wir uns beide darüber im Klaren sind, was zu tun ist. Augenzwinkern

Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

bestimme eine basis für den lösungsraum des homogenen lin. gleichungssystems mit koeffizientenmatrix A(erster post)

folgendes habe ich gemacht.
matrix in zeilenstufenform umgeformt und dann in der diagonale die 0 durch -1 ersetzt. dort wo ersetzt wurde findet man eine basis
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dann solltest du das tun, was du in deinem ersten Post geschrieben hast: Führe in der Nullzeile einen Parameter ein und räume weiter aus, dann kannst du eine Basis des Lösungsraumes ablesen.

Viele Grüße,
Dominik
 
 
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

und wieso war die genaue angabe für dich nun so wichtig? was hätte ich denn für eine "andere" basis noch berechnen können?
und schau mal das mit der -1 habe ich von hier.
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, in deinem ersten Post schreibst du
Zitat:
gegeben ist die 4x4 matrix -1 0 -1 2 0 -1 2 -1 -1 2 -1 0 2 -1 0 -1 ich soll eine basis bestimmen.

Was soll die Basis einer Matrix sein? D.h. man konnte nur vermuten, was du berechnen wolltest, zwei Möglichkeiten habe ich in meiner ersten Antwort genannt. Von einem homogenen Gleichungssystems hast du bis zu meiner Nachfrage nichts erwähnt. Augenzwinkern

Diesen "Trick" habe ich selbst noch nie verwendet, ich finde den Lösungsweg viel schöner nachzuvollziehen, wenn man in der Nullzeile einen Parameter einzufügt und dann die Matrix auf Diagonalgestalt zu bringen. Aber wenn du das so machen darfst, dann kannst du es auch machen.

Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

homogen heißt doch das jede zeile =0 gesetzt wird. aber da stehen ja keine 0er
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Ein homogenes lineares Gleichungssystem über ist von der Form mit , wobei die 0 hier der 0-Vektor in ist. Wenn du nun die Matrix mit dem Gauß-Algorithmus auf Zeilen-Stufenform bringst, kannst du auf der rechten Seite eine 0-Spalte mitführen. Diese brauchst du aber nicht, bis du einen Parameter einfügst, dann muss du sie einfügen und an der entsprechenden Stelle den Parameter reinschreiben.

Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

also besteht dann die matrix am ende aus 5x5 eigentlich. wenn ich die 0er hinzufüge. aber dennoch ist es eine 4x4 matrix , stimmts?

ich habe dann 2 freie variablen, sehe ich das richtig
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz. du lässt die Nullzeile wegfallen und fügst dann an deren Stelle eine Zeile mit einer 1 und sonst Nullen ein. Auf der rechten Seite ergänzt du dann eine Spalte die auch nur Nullen enthält, aber in der Zeile, wo du den Parameter einfügen möchtest schreibst du dann eben diesen hin, das heißt du erhältst eine Matrix. Ein kleines Beispiel:
Mal angenommen du hast eine Matrix über auf diese Gestalt gebracht:
Nun ersetzt du die Nullzeile, fügst einen Parameter ein und fügst eine weitere Spalte hinzu. Dann erhältst du:


Ist es nun klarer geworden?

Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

bei deinem beispiel

wird meine ganze vorangehensweise irgendwie total über den haufen geschmissen.

meine matrix sieht so dann so aus.

-1 0 -1 2 0
0 -1 2 -1 0
0 0 4 -4 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

irgendwie stimmt was nicht. normal mache ich das immer so. aber wenn ich hier bei zwei nullzeilen 2freie variablen wähle dann hab ich in zeile 3 keine x3 mehr. ich habe hier mal ein beispiel angefügt.
da soll von der Menge U eine basis erstellt werden. ich denke das sollte so richtig sein und da siehst du wie ich mit der matrix umgehe. ich habe (im kopf) 5zeilen, auch wenn ich sie jetzt allesamt zusammengefasst habe.
[attach]32059[/attach]


edit:
Vom Bild dieser Matrix, oder von dem Teilraum der von den Spaltenvektoren der Matrix erzeugt wird? Das wird aus deinem Post nicht klar
und worin unterscheiden sich die herangehensweise bis hin zur basis bei den den methoden?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Bild was du dort angehängt hast gehört aber nicht zu der Aufgabe, die du oben gestellt hast? verwirrt

Bleiben wir mal bei der Aufgabe: Die letzte Nullzeile ist überflüssig. Du schreibst nun in die vorletzte Nullzeile an Eintrag Nummer 4 eine 1 und rechts davon den Parameter, sagen wir . Dann führst du den Gaußalgorithmus bis zum Ende durch


Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ja hab ich gemacht, das hab ich ja schon gemacht.
das bild ist natürlich was anderes. es sollte dir nur verdeutlichen wie ich die aufgabe anging.
und das mit dem unterschied würde ich noch gerne wissen.
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich hatte deinen Edit nicht gesehen.
Ich habe mich vielleicht etwas missverständlich ausgedrückt: Das ist Selbe, aber die Aufgabenstellungen unterscheiden sich oft. Manchmal lautet die Aufgabenstellung: "Bestimmen sie eine Basis des Bildes dieser linearen Abbildung", manchmal aber auch " Bestimmen sie eine Basis des von dieses Vektoren erzeugten Unterraumes" und die Fragesteller schreiben die Vektoren dann direkt in eine Matrix. Ich wollte also lediglich wissen, was die Aufgabe ist, weil das aus deinem ersten Post nicht ganz klar war. Augenzwinkern

Viele Grüße,
Dominik
akamanston Auf diesen Beitrag antworten »

ok, danke

feierabend
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne! Freude
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