Inneres, Abschluss und Rand

10.11.2013, 14:38

Kääsee

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Inneres, Abschluss und Rand

Hey,
ich bin mir bei einer Aufgabe sehr sehr unsicher. Generell habe ich das Gefühl, dass ich im Moment nicht so richtig durchblicke.
Es geht um Folgendes:

Zitat:

Bestimmen Sie (ohne Beweis) jeweils das Innere, den Rand und den Abschluss folgender Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (a) A:=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2 \leq 1\right\} \cup \left\{(x,0) \in \mathbb R^2| 0<x<2\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (b) B:=\left\{(x,x^2)\in \mathbb R^2| -5<x\leq3\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (c) C:= ([0,1]\times [0,1])\cap \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (d) D:=\left\{(x,0)\in \mathbb R^2| x\in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Ich habe mir das dann einfach aufgezeichnet unglücklich

unglücklich

und bin zu folgendem gekommen:
$\begin{eqnarray*} \overset{\circ}{A}=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2 < 1\wedge x, y \neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} $ \partial $ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A= \left\{(x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2=1\right\}\cup\left\{(x,0)\in\mathbb R^2 | -1\leq x\leq 2\right\}\cup \left\{(0,y)\in R^2 | -1\leq y\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2 | x^2+y^2\leq1\right\}\cup \left\{(x,0)\in\mathbb R^2 | 1\leq x\leq 2\right\} \end{eqnarray*}$

Erst mal die (a). Wenn die richtig ist (was ich nicht glaube^^), kann es weitergehen.
Wäre lieb, wenn das jemand überprüfen könnte.
LG und einen schönen Sonntag!

10.11.2013, 19:30

Kääsee

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Kann mir niemand helfen?
Außerdem verstehe ich nicht, warum $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 20:35

URL

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
$\begin{eqnarray*} \overset{\circ}{A} \end{eqnarray*}$ : Warum $\begin{eqnarray*} x, y \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ Kreislienie ist ok, aber wie kommst du auf die Geradenstücke?
$\begin{eqnarray*} \overline{A}=A\cup \partial A \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 21:03

Kääsee

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RE: Inneres, Abschluss und Rand

Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \overset{\circ}{A} \end{eqnarray*}$ : Warum $\begin{eqnarray*} x, y \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?
$\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ Kreislienie ist ok, aber wie kommst du auf die Geradenstücke?
$\begin{eqnarray*} \overline{A}=A\cup \partial A \end{eqnarray*}$

Ich Idiot hab mir irgendwie den Kreis nur im ersten Quadranten aufgemalt Hammer

Hammer

Aber bei $\begin{eqnarray*} \partial A \end{eqnarray*}$ müsste dann doch trotzdem noch die Strecke von 1 bis 2 auf der x-Achse dazu, oder?

10.11.2013, 21:10

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
Freude

Freude

10.11.2013, 21:20

Kääsee

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
Dann zur b)
Das ist ja eigentlich nur eine Kurve, d.h.

$\begin{eqnarray*} \overset{\circ}{B}=\emptyset \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial B=\left\{(x,x^2)\in \mathbb R | -5\leq x \leq 3\right\}=\overline{B} \end{eqnarray*}$

?

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10.11.2013, 21:36

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
passt

10.11.2013, 21:44

Kääsee

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
Nee, passt nicht ganz, müsste nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 heißen \end{eqnarray*}$ ;D

c) ist wieder etwas verwirrender...

$\begin{eqnarray*} \overset{\circ}{C}=((0,1)\times (0,1))\cap \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial C=(\left\{(x,0)\in \mathbb R^2| 0\leq x\leq1\right\}\cup\left\{(x,1)\in \mathbb R^2| 0\leq x\leq1\right\}\cup\left\{(0,y)\in \mathbb R^2| 0\leq y\leq1\right\}\cup\left\{(y,1)\in \mathbb R^2| 0\leq y\leq1\right\})\cap \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Und $\begin{eqnarray*} \overline C= C \end{eqnarray*}$

10.11.2013, 21:58

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
da hast du recht, passt nicht ganz.

Du meinst also (1/2, 1/2) wäre ein innerer Punkt von C?
Welche Eigenschaft muss denn ein innerer Punkt haben?

10.11.2013, 22:09

Kääsee

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RE: Inneres, Abschluss und Rand

Zitat:

Original von URL

Du meinst also (1/2, 1/2) wäre ein innerer Punkt von C?
Welche Eigenschaft muss denn ein innerer Punkt haben?

Es muss eine offene Teilmenge von C geben, die den Punkt enthält.? verwirrt

verwirrt

11.11.2013, 08:37

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RE: Inneres, Abschluss und Rand
Nein. Schau nochmal die Definition nach.

11.11.2013, 13:26

Kääsee

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Naja, es muss ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ existieren, für das die offene Kugel (hier Kreis?) um den Punkt in der Teilmenge liegt..
Du merkst wohl, dass ich da nicht wirklich richtig durchblicke unglücklich

unglücklich

vielleicht gibt es eine für mich verständlicherd Definition?

11.11.2013, 22:37

Kääsee

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Da URL wohl nicht hier ist: Kann mir jemand anders helfen?

12.11.2013, 20:03

Kääsee

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Sorry, aber ich muss den Beitrag nochmal hochpushen.
Ich bin immernoch der Meinung, dass der Punkt (0.5, 0.5) im Innern liegen müsste.
Und meine Frage, warum $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray*}$ bzw. auch $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R \setminus \mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist auch noch offen unglücklich

unglücklich

12.11.2013, 20:14

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das mit dem Kreis um den Punkt ist schon richtig.
Jetzt stell dir einen Kreis vor, der (1/2,1/2) enthält. In dem Kreis sind sicher auch Punkte mit irrationalen Koordinaten. Also ist der Kreis nicht Teilmenge von C und damit (1/2,1/2) kein innerer Punkt.
Die gleiche Idee kannst du auf jeden Punkt von C anwenden.

12.11.2013, 20:21

Kääsee

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Ja, deshalb hab ich gedacht, ich bilde einfach noch den Schnitt mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^2 \end{eqnarray*}$ und dann hab ich's? Wobei, dann kann man ja trotzdem keinen Kreis finden, stimmt schon. Heißt das, das Innere ist die leere Menge?

12.11.2013, 20:30

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Du müsstest eine in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ offene Menge (da kann man einfach einen offenen Kreis betrachten) finden, die den Punkt enthält und auch ganz in C liegt.
Ja, das Innere von C ist leer.

12.11.2013, 20:32

Kääsee

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Und der Rand ist dann C oder wie? verwirrt

verwirrt

Weil C nur aus einzelnen Punkten besteht?

12.11.2013, 21:40

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Definition Randpunkt?

12.11.2013, 22:27

Kääsee

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Ich glaube, ich bin ein hoffnungsloser Fall :/ In jeder Epsilon-Umgebung des Punktes muss sowohl ein Element der Menge als auch des Komplements liegen.

Dann wohl $\begin{eqnarray*} ([0,1]\times [0,1]) \end{eqnarray*}$ ohne den Schnitt mit Q?

12.11.2013, 22:34

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Geht doch

Freude

12.11.2013, 23:05

Kääsee

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Und das ist dann ebenfalls der Abschluss, oder?
Dann verstehe ich jetzt auch halbwegs, warum der Abschluss der irrationalen Zahlen die reellen Zahlen sind: weil das Innere leer ist, wenn es finden sich überall "Lücken", wo normalerweise die rationalen Zahlen sind, oder?
Wie kann ich das denn schöner mathematisch ausdrücken?

12.11.2013, 23:24

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Der entscheidende Hinweis ist, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen liegen.
Deswegen ist das Innere der irrationalen Zahlen leer (jede reelle, insbesondere jede irrationale, lässt sich beliebig gut durch eine rationale Zahl approximieren. Also enthält jeder Kreis um eine irrationale Zahl eine rationale)

Zum Abschluss: Überleg dir, dass man jede reelle Zahl beliebig genau durch eine irrationale Zahl approximieren kann.

13.11.2013, 00:10

Kääsee

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Kann ich das einfach so als Tatsachen hinschreiben oder muss ich das irgendwie zeigen.
Einem "gesunden Menschenverstand" ist das ja eigentlich schon klar, aber...

13.11.2013, 00:28

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Hm, kommt immer darauf an, für wen und wofür die Ausführung geeignet sein soll.
Als Darstellung der Idee ist das allemal ausreichend, als formaler Beweis wäre es mir zu wenig.
Aber in der Aufgabenstellung ist doch kein Beweis verlangt verwirrt

verwirrt

13.11.2013, 00:33

Kääsee

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Die Aufgabe geht ja noch weiter Big Laugh

Big Laugh

Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Und nach meinen Überlegungen heißt das nix anderes als $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R \setminus \mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray*}$

13.11.2013, 00:52

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$\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R \setminus \mathbb Q}=\mathbb R \end{eqnarray*}$ haben wir doch gerade schon besprochen verwirrt

verwirrt

13.11.2013, 00:58

Kääsee

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Ja, ich weiß ja. Ich frage mich nur ob das:

Zitat:

jede reelle, insbesondere jede irrationale, lässt sich beliebig gut durch eine rationale Zahl approximieren. Also enthält jeder Kreis um eine irrationale Zahl eine rationale

als Begründung ausreicht, oder ob ich das noch schöner, mathematisch beweisen muss.
Auf jeden Fall warst du mir bis jetzt eine riiiesige Hilfe und ich möchte dir schon mal ganz herzlich danken!

13.11.2013, 01:02

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Ob das ausreicht, kann ich dir nicht sagen. Sagte ich das schon? Big Laugh

Big Laugh

13.11.2013, 01:10

Kääsee

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Ja^^ Sorry.
Aber dir fällt auch kein (einfacher), schöner Beweis dazu ein, oder?

13.11.2013, 01:43

Lithiesque

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Darfst du $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sowie die Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und die Überabzählbarkeit beliebiger echter Intervalle voraussetzen?

13.11.2013, 08:09

Kääsee

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Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit ja, Abschluss von Q Nein.

13.11.2013, 21:27

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Intervallschachtelung bzw. Intervallhalbierung bekannt? Damit bekommst du $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

13.11.2013, 22:34

Kääsee

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Intervallschachtelung, ja.

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