Restklassen in F17

10.11.2013, 15:30

Kääsee

Restklassen in F17

Huhu,
folgende Frage:

Zitat:

Kann man in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{17} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \overline{-1} \end{eqnarray*}$ eine Wurzel ziehen?

Ich würde behaupten, ja, denn $\begin{eqnarray*} -1=-1\cdot 17 +16, \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} \overline{-1}=\overline{16}=\overline{4}\cdot \overline{4} \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

10.11.2013, 15:40

Captain Kirk

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Ja, was lässt dich denn zweifeln? Viel klarer und einfacher kann eine Antwort doch kaum sein.

10.11.2013, 15:45

Kääsee

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Mich lässt der zweite Aufgabenteil zweifeln Big Laugh

Es geht nämlich noch weiter:

Zitat:

Wie oft muss man $\begin{eqnarray*} \overline{3} \end{eqnarray*}$ mit sich selbst multiplizieren, bis man das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \overline{1} \end{eqnarray*}$ erhält?

Ich bin das folgendermaßen angegangen:

$\begin{eqnarray*} 3^n=18+17x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow n=\frac{18+17x}{lg(3)} \end{eqnarray*}$

Jaa... und dann hab ich mit einer Tabelle in meinem Taschenrechner herausgefunden, dass die erste ganze Zahl bei x=29 herauskommt und dass n dann 1071 ist ^^

Aber das muss doch auch anders gehen?!

10.11.2013, 15:51

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3^n=18+17x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow n=\frac{18+17x}{lg(3)} \end{eqnarray*}$

Wenn, dann schon beide Seiten logarithmieren...

Gruppentheorie ist hier deutlich nützlicher als Analysis:
Lagrange sagt es gibt nur wenige Fälle zum Durchprobieren.
Nebenbei: Das ist der Riesenvorteil endlicher Körper: Man kann einfach alle möglicghen Fälle durchgehen und die Sache ist erledigt.

10.11.2013, 16:00

Kääsee

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 3^n=18+17x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow n=\frac{18+17x}{lg(3)} \end{eqnarray*}$

Wenn, dann schon beide Seiten logarithmieren...

oh mein Gott, bin ich hohl -.-

Zitat:

Lagrange sagt es gibt nur wenige Fälle zum Durchprobieren.Nebenbei: Das ist der Riesenvorteil endlicher Körper: Man kann einfach alle möglicghen Fälle durchgehen und die Sache ist erledigt.

Wie meinst du das? Bei mir würde das ewig dauern!
$\begin{eqnarray*} \overline{3}^2=\overline{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{3}^3=\overline{10} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{3}^4=\overline{13} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{3}^5=\overline{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{3}^6=\overline{14} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{3}^7=\overline{11} \end{eqnarray*}$
... unglücklich

10.11.2013, 16:03

Captain Kirk

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So meinte ich das nicht.
Ist der Satz von Lagrange unbekannt?
(Der wohl elementarste Satz der elementaren Gruppentheorie?)

10.11.2013, 16:11

Kääsee

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Zitat:

Original von Captain Kirk
So meinte ich das nicht.
Ist der Satz von Lagrange unbekannt?
(Der wohl elementarste Satz der elementaren Gruppentheorie?)

In der Vorlesung wurde er nicht behandelt unglücklich

10.11.2013, 16:18

Captain Kirk

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Dann bleibt dir wirklich nichts anderes übrig als alle Fälle durchprobieren.
Wobei der nächste Fall schon ziemlich erhellend sein sollte.

Im Zusammenhang mit der anderen Aufgabe könnte man auch bereits $\begin{eqnarray*} 3^4 \equiv -4 \end{eqnarray*}$ als Hinweis werten.

10.11.2013, 16:30

Kääsee

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Ich habe jetzt

$\begin{eqnarray*} 3^8 \equiv 4^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^{12} \equiv 4 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} 3^{16} \equiv 1 \end{eqnarray*}$

Aber wie das alles zusammenhängt, ist mir unklar unglücklich

10.11.2013, 16:36

Captain Kirk

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16 ist richtig.

10.11.2013, 16:41

Kääsee

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Ja schon, aber was hat das mit $\begin{eqnarray*} 3^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 3^8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 3^{12} \end{eqnarray*}$ auf sich?
Außerdem ist mir aufgefallen, dass für alle z aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{17} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} z^{16}\equiv 1 \end{eqnarray*}$
Wie komme ich darauf?

10.11.2013, 23:31

Kääsee

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Ich komme wirklich nicht dahinter. unglücklich

Ich habe jetzt schon überlegt, dass
$\begin{eqnarray*} \overline3^{16}=((\overline{3}^4)^2)^2=((\overline{-4})^2)^2=((\overline{-1\cdot 4})^2)^2=((\overline{-1}\cdot \overline{4})^2)^2=((\overline{-1})^2\cdot(\overline{4})^2)^2=((\overline{-1})^2\cdot(\overline{-1}))^2=(\overline{-1})^2=\overline{1} \end{eqnarray*}$
Aber bringt mir das was?
*grübel*

11.11.2013, 13:52

Captain Kirk

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Zitat:

Außerdem ist mir aufgefallen, dass für alle z aus $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{17} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} z^{16}\equiv 1 \end{eqnarray*}$

Der Satz von Lagrange sagt unter anderem (G sei immer eine endliche Gruppe)
$\begin{eqnarray*} z^{|G|}=1 \forall \, z \in G \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} ord(z) \mid \,|G| \forall \, z \in G \end{eqnarray*}$ und die Ordnung ist gerade das was hier berechnet werden soll.

11.11.2013, 14:00

Kääsee

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Kann ich irgendwie aus dem Ergebnis, das ich für 3 erhalte, schließen, dass das für alle z gilt?

11.11.2013, 14:57

Kääsee

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Noch eine Frage: ich dachte, die Ordnung sei die Anzahlder Elemente, also in unserem fFall 17?

11.11.2013, 15:40

ollie3

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hallo,
ja, aber es geht hier ja um die multiplikative gruppe, das schliesst man die 0 aus, es bleiben also
16 elemente. smile

gruss ollie3

11.11.2013, 17:20

Kääsee

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Ah, ok. Dann vielen Dank ihr Beiden.
Allerdings bin ich immernoch nicht zufrieden unglücklich

Ich habe mir jetzt schon die Finger wund gegoogled nach dem Satz von Lagrange und irgendwie kommt bei den Beweisen immer was, was ich nicht verstehe. Ich kann ja schlecht einfach hinschreiben "nach Satz von Lagrange", obwohl dieser gar nicht behandelt wurde. Nebenklassen hatten wir auch nicht...
Jedenfalls soll ich aus dem Ergebnis, das ich erhalte, schließen, dass für jedes z gilt $\begin{eqnarray*} \overline{z}^{17}=\overline{z} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \overline{z}^{16}=\overline{1} \end{eqnarray*}$ für alle gilt, dann ist mir der letzte Schritt klar.
Aber kann ich einfach so sagen, dass es, wenn es für 3 gilt, auch für alle anderen gilt?!

11.11.2013, 17:37

Captain Kirk

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Zitat:

Jedenfalls soll ich aus dem Ergebnis, das ich erhalte, schließen, dass für jedes z gilt $\begin{eqnarray*} \overline{z}^{17}=\overline{z} \end{eqnarray*}$ . Wenn ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \overline{z}^{16}=\overline{1} \end{eqnarray*}$ für alle gilt, dann ist mir der letzte Schritt klar.

Ist das eine neue Aufgabe? Wie lautet die dann genau?

Zitat:

Aber kann ich einfach so sagen, dass es, wenn es für 3 gilt, auch für alle anderen gilt?!

Das wäre absoluter Unfug. Es gibt kein Beweis durch Beispiel.

Und natürlich sind Übungsaufgaben mit den Methoden der Vorlesung zu lösen/lösbar.
Nur anchmal geht es mit etwas mehr theorie deutlich einfacher.

11.11.2013, 17:41

Kääsee

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Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Ist das eine neue Aufgabe? Wie lautet die dann genau?

Naja, die ist die nächste Teilaufgabe, also Zusatz quasi.
Da steht:

Zitat:

Schließen sie aus dem Ergebnis: Für jedes $\begin{eqnarray*} \overline{z}\in\mathbb F_{17} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \overline{z}^{17}=\overline{z} \end{eqnarray*}$

11.11.2013, 17:44

Captain Kirk

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Ist der Begriff zyklische Gruppe bekannt?

11.11.2013, 18:07

Kääsee

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Wurde auch nicht durchgenommen unglücklich

11.11.2013, 18:35

Captain Kirk

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Das hätte auch nur den Beweis etwas verkürtzt:

Sei G eine Gruppe, $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ und es sei $\begin{eqnarray*} ord(g):=min\{n\in \mathbb N^* | g^n=e\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} <g>:= \{g^k| k \in \mathbb Z \}=\{e=g^0, g, \ldots ,g^{n-1}\} \end{eqnarray*}$ und die Menge hat genau n=ord(g) Elemente.

Damit hast du in dieser Aufgabe gezeigt:
$\begin{eqnarray*} <3>=\mathbb F_{17}^* \end{eqnarray*}$
und daraus folgt direkt
$\begin{eqnarray*} z^{16}=1 \forall z \in \mathbb F_{17}^* \end{eqnarray*}$
und damit die Behauptung.

11.11.2013, 18:53

Kääsee

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Oh, vielen Dank. Leider verstehe ich aber die Schreibweise nicht. unglücklich

Vor allem das <g> und diesen Punkt:

Zitat:

Original von Captain Kirk
Damit hast du in dieser Aufgabe gezeigt:
$\begin{eqnarray*} <3>=\mathbb F_{17}^* \end{eqnarray*}$

Was sagt mir das *?

11.11.2013, 19:01

Captain Kirk

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In einem Körper K bezeichnet $\begin{eqnarray*} K^*=K\backslash \{0\} \end{eqnarray*}$ die Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente.
:= steht für "definiert als".

11.11.2013, 20:04

Kääsee

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Zitat:

Original von Captain Kirk
:= steht für "definiert als".

Das weiß ich doch Big Laugh

mit "diesen Punkt" hab ich sowas wie "die folgende Aussage" gemeint Augenzwinkern

Ich kenne nämlich die Schreibweise mit den Klammern <> nicht.

11.11.2013, 20:21

Captain Kirk

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Wie man diese Menge schreibt ist doch vollkommen irrelevant und ändert an der Aussage nichts.

Diese Aussagen sind elementar ohne Kenntnis irgendwelcher Notationen beweisbar.

11.11.2013, 20:47

Kääsee

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Aber warum ist dann $\begin{eqnarray*} <3>=\mathbb F^*_{17} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn <3> doch aus den Elementen $\begin{eqnarray*} 1, 3, 9,... 3^{16} \end{eqnarray*}$ besteht? :/
Oh mann, tut mir echt leid, ich verstehe gerade so gar nicht unglücklich

edit: Achso, in den 3er-Potenzen kommt also jede Restklasse genau ein mal vor? Ok, das ergibt Sinn, ich versthe. Da ja auch $\begin{eqnarray*} \overline{3}^0=\overline{1} \end{eqnarray*}$ und danach fängt es wieder von vorne an. Puh, danke, echt, du hast mir wahnsinnig geholfen!

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