komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades

10.11.2013, 18:46

Duinne

komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich habe Probleme mit einer Aufgabenstellung. Es geht um folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^{4}-12=j+5e^{4,5j}\left(1+3j\right) \end{eqnarray*}$

Geben Sie die Menge aller komplexen Zahlen x an, die eien Löung der Gleichung darstellen.

Meine Ideen:
Ich kann innerhalb der komplexen Zahlen rechnen. Nun ist das x dazu gekommen und ich weiß nicht, wie ich mein Wissen über normale Gleichungen und komplexe zahlen verknüpfen kann.
Meine Frage lautet also, wie man bei so einer Aufgabe vorgeht?
Ich habe mir überlegt, zunächst einmal die rechte Seite auszurechnen.
Dabei bin ich zu folgendem Ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} x=5\cdot cos 4,5=-1,05 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=5\cdot sin 4,5=-4,89 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j+(-1,05-4,89j)(1+3j) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j+(-1,05-3,15j-4,89j+14,67) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} j+(13,62-8,04j) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0+13,62)+(1+(-8,04j)) \end{eqnarray*}$
[latex]x^{4}-12=13,62-7,04j /latex]

1. Ist meine Rechnung bis dahin korrekt?
2. Wie kann ich damit nun rechnen, um hinterher die Menge angeben zu können?

Vielen Dank und liebe Grüße
Duinne

11.11.2013, 08:36

Steffen Bühler

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades

Zitat:

Original von Duinne
1. Ist meine Rechnung bis dahin korrekt?

Ja.

Zitat:

Original von Duinne
2. Wie kann ich damit nun rechnen, um hinterher die Menge angeben zu können?

Wenn Du die -12 noch auf die andere Seite bringst, musst Du die vierte Wurzel aus der rechten Seite ziehen, um die Hauptlösung zu bekommen. Dazu bringst Du die rechte Seite zweckmäßigerweise in Polarform und denkst an die Potenzgesetze.

Viele Grüße
Steffen

13.11.2013, 15:17

Duinne

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades
Also nach +12 und in die Polarform bringen, komme ich auf die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x^{4}=26,57\cdot e^{j\cdot 6,02} \end{eqnarray*}$

Davon die vierte Wurzel:

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[4]{26,57\cdot e^{j\cdot 6,02}} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis wäre dann:

$\begin{eqnarray*} x=10,23 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?
Falls ja, sind mir die Potenzgesetze nicht so richtig klar. Welches Potenzgesetz greift hier?

Danke für die Hilfe!

Gruß
Duinne

13.11.2013, 15:26

Steffen Bühler

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} x^{4}=26,57\cdot e^{j\cdot 6,02} \end{eqnarray*}$

Ja, das stimmt.

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} x=10,23 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Nein, wie Du schnell selber feststellen kannst, indem Du diese Zahl hoch vier nimmst.

Denk an $\begin{eqnarray*} \sqrt[4] {a \cdot e^b} = (a \cdot e^b)^ {\frac 14} = a^ {\frac 14} \cdot (e^b)^ {\frac 14} \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

13.11.2013, 15:51

Duinne

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades
Ich bin etwas irritiert. Du meinst, wenn ich 10,23 hoch vier nehme, dann

$\begin{eqnarray*} 10,23^{4}\neq 26,57\cdot e^{j\cdot 6,02} \end{eqnarray*}$
Das sehe ich nicht =(

Also, mit dem Potenzgesetz:

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[4]{26,57\cdot e^{j\cdot 6,02}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(26,57\cdot e^{j\cdot 6,02} \right) ^{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 26,57^{\frac{1}{4} }\cdot \left(e^{j\cdot 6,02} \right) ^{\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=2,27\cdot e^{j\cdot 1,51} \end{eqnarray*}$

So?

13.11.2013, 16:00

Steffen Bühler

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades

Zitat:

Original von Duinne
Ich bin etwas irritiert. Du meinst, wenn ich 10,23 hoch vier nehme, dann

$\begin{eqnarray*} 10,23^{4}\neq 26,57\cdot e^{j\cdot 6,02} \end{eqnarray*}$
Das sehe ich nicht

Nein? Schon im Kopf ist doch $\begin{eqnarray*} 10^4=10000 \end{eqnarray*}$ . Der Betrag der Zahl auf der anderen Seite ist eindeutig kleiner, und der Winkel ist ja auch nicht Null, die Zahl ist also nicht reell wie die auf der linken Seite.

Zitat:

Original von Duinne
$\begin{eqnarray*} x=2,27\cdot e^{j\cdot 1,51} \end{eqnarray*}$

Genau! Das ist die Hauptlösung. Weißt Du, wie man auf die anderen drei kommt?

Viele Grüße
Steffen

13.11.2013, 16:14

Duinne

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades
Du sagst, der Betrag auf der anderen Seite ist eindeutig kleiner. Gehen wir dabei jetzt nur von der 26,57 aus? Dann ist mir das klar. Ich habe

$\begin{eqnarray*} 26,57\cdot e^{6,02} \end{eqnarray*}$

betrachtet. Das ist aber flasch, nehme ich an?

Ganz lieben Dank schon einmal für deine Hilfe! Das ist wirklich prima.
Ich habe selbstverständlich keine Ahnung, wie ich auf die anderen Lösungen komme..
Ich habe nicht mal eine Idee. Das ganze Kapitel komplexe Zahlen im Papula habe ich bearbeitet. Aber solch eine Aufgabenstellung kommt da drin nicht vor.

Viele Grüße
Duinne

13.11.2013, 16:33

Steffen Bühler

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades

Zitat:

Original von Duinne
Du sagst, der Betrag auf der anderen Seite ist eindeutig kleiner. Gehen wir dabei jetzt nur von der 26,57 aus?

Ja, denn die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} r \cdot e^{j \varphi} \end{eqnarray*}$ hat definitionsgemäß den Betrag $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Duinne
Dann ist mir das klar. Ich habe
$\begin{eqnarray*} 26,57\cdot e^{6,02} \end{eqnarray*}$
betrachtet. Das ist aber flasch, nehme ich an?

In der Tat. Das ist eine völlig andere Zahl!

Zitat:

Original von Duinne
Ich habe selbstverständlich keine Ahnung, wie ich auf die anderen Lösungen komme.

Die vier Lösungen verteilen sich in der komplexen Ebene gleichmäßig auf einem Kreis um den Nullpunkt. Der Kreis hat den Radius 2,27, die erste Lösung sitzt bei Winkel 1,51.

Kannst Du jetzt die anderen Lösungen benennen?

13.11.2013, 17:19

Duinne

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades
Ich fühle mich im Stande, da hast du die richtigen Knöpfe gedrückt =)

$\begin{eqnarray*} phi=\frac{6,02+k\cdot 2\pi }{4} \end{eqnarray*}$

wobei k = 0, 1, 2, 3

$\begin{eqnarray*} phi_{1}=1,51 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} phi_{2}=3,08 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} phi_{3}=4,65 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} phi_{4}=6,22 \end{eqnarray*}$

Da bedeutet:

$\begin{eqnarray*} x_{1}=2,27\cdot e^{j1,51} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=2,27\cdot e^{j3,08} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{3}=2,27\cdot e^{j4,65} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{4}=2,27\cdot e^{j6,22} \end{eqnarray*}$

Gruß
Duinne

13.11.2013, 17:21

Steffen Bühler

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades
Prima! Alles richtig!

Viele Grüße
Steffen

13.11.2013, 17:25

Duinne

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RE: komplexe Zahlen - Gleichung mit x 4. Grades
Vielen, vielen Dank für deine Unterstützung!

Ich wünsche noch einen schönen Abend Wink

Liebe Grüße
Duinne

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