DGL 2. Ordnung: AWP & Integral of Motion

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Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 2. Ordnung: AWP & Integral of Motion
Hallo Leute,

ich habe folgende DGL 2. Ordnung gegeben:
.

Aufgabe 1 ist es, das zugehörige Anfangswertproblem mit Anfangsbedingungen aufzuschreiben.

Das find ich schon seltsam. Es ist doch ein AWP, eben 2. Ordnung. Was soll man da denn machen?

Dann sollen wir das Integral of Motion (ich weiß nicht, wie man das auf deutsch nennt) finden.
Könnt ihr mir einen Tipp geben, wie man da rangeht?


Vielen lieben Dank!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Setze . Dann kannst Du eine DGL erster Ordnung für aufschreiben:
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, kann ich machen.

Hast du noch einen Vorschlag für das Integral?
Oder wie man auf den Orbit kommt?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Der Begriff "Integral der Bewegung" bedeutet hier "Erhaltungsgröße". Betrachtet man z.B. eine Masse m, die an einer Feder mit der Federkonstante k aufgehängt ist und schwingt, so wird dieser Schwingungsvorgang durch deine Differenzialgleichung beschrieben



Multiplikation mit der Masse m ergibt



Wir zeigen, dass eine gewisse Größe E existiert, welche eine Erhaltungsgröße darstellt (=Integral der Bewegung). Das bedeutet, dass E während der Bewegung konstant bleibt, also . Dazu multiplizieren wir die letztere Dgl. mit der halben Geschwindgkeit und erhalten



Zusammenfassen liefert



Offenbar ist E eine Erhaltungsgröße, also . Man bezeichnet E als die Energie des Federschwingers. Den Summanden bezeichnet man als Bewegungsenergie (weil darin nur die Geschwindigkeit aber nicht der Ort vorkommt). Den Summanden bezeichnet man als potentielle Energie der gespannten Feder. (Diese hängt nur vom Ort der Masse ab.)

Obwohl sich die beiden einzelnen Summanden zeitlich ständig ändern, ist interessant, dass deren Summe dennoch konstant bleibt.
Margarita90 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für deine Erklärungen, Ehos! Ich denke, es hat geklappt smile
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