Alternierende harm. Reihe

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Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »
Alternierende harm. Reihe
Einen schönen guten Abend Augenzwinkern )
Ich habe eine Frage bezüglich der alternierenden harmonischen Reihe.
Folgende Aufgabe: Betrachten Sie die a.h.Reihe , wobei . Geben Sie eine Umordnung an, für die die Reihe . Natürliche Zahlen ohne die 0

divergiert.

Also es gibt da ja so ein Riemannschen Umordnungssatz.


Aber ich weiss halt nicht wie ich den Satz auf meine Aufgabe anwende. Scheinbar nehm ich mir Elemente heraus und sortiere die um.. Aber wie ich das mathematisch schreibe ist mir schleierhaft. Und zur Hilfe habe ich nur:
Eine Reihe konvergiert absolut, wenn konvergiert

Ich hoffe mir kann jemand hefen.
Shelly Augenzwinkern
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternierende harm. Reihe
Betrachte mal

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

@Theend9219

Möglich auch:



bzw.




Das kann man dann auch schreiben in der Form schreiben. Wobei und noch ermittelt werden müssen.

Grüße.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Kasen75

Du irrst - diese Reihe

Zitat:
Original von Kasen75

konvergiert, wenn auch mit anderem Wert als das originale . Augenzwinkern

EDIT: Konkret ist das Reihenwert .
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000

Ich dachte, da die Terme in den Klammern, mit steigendem n, größer werden, würde die Reihe divergieren.

Ich habe (sehr) wahrscheinlich einen Denkfehler.

Edit:
@Hal 9000
Mach ich gleich bzw. später.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na bring mal auf einen Nenner...
 
 
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL

Wenn man es auf einen Nenner bringt, dann ist .

Somit konvergiert, nach dem Quotientenkriterium, die (umgeordnete) Reihe

Danke dir. Ich habe jetzt meinen Denkfehler gefunden. Jetzt kann sich wieder dem eigentlichen Thema zugewandt werden.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Mittels



Ist das Ganze auch schnell als Teleskopsumme entlarvt.
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Oha, da war ich etwas zu voreilig.
Das ist natürlich keine Teleskopsumme!

Beitrag bitte entfernen!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Teleskop ist es leider nicht. Der Reihenwert lässt sich so erklären:

.

Dabei werden das erste mal vier, und das zweite mal zwei aufeinander folgende Glieder der "originalen" alternierende ln(2)-Reihe zusammengefasst.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Augenzwinkern ) Vielen Dank für eure Antworten. Also an Teleskopsumme hätte ich auch gedacht. Aber wie finde ich denn jetzt eine Divergenz?Ich muss die Glieder ja irgendwie so umordnen das ich eine Divergenz bekomme?.. Aber ich weis leider immer noch nicht wie ich da vorgehen muss ... Ich hoffe mir kann jemand helfen.. ist ja offenbar ein grenzwert und somit konvergent ..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die kurzen Beitrage gehen manchmal unter:

Zitat:
Original von Grautvornix
Betrachte mal


Passt hervorragend, und lässt sich locker als divergent abschätzen durch eine passende Minorante.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort HAL 9000,
Also rein grenzwertig gesehen konvergiert die Reihe ja gegen 0, da:
=

Gegen den Wert 0.

Es gibt ja ein Majoranten- und Minorantenkriterium.

Könnte man das vielleicht so abschäzen?


Kann man das so abschätzen?
Liebe Grüße Shelly Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du willst die Umordnung diskutieren? Stattdessen startest du den hoffnungslosen Versuch, die konvergente Originalreihe als divergent nachzuweisen. geschockt
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grautvornix
Betrachte mal



Ich würde diese Reihe versuchen als eine Summe zu schreiben .. und daraus dann die Divergent zu folgern .. Aber ich weis wirklich nicht wie ..Ein Versuch war

Aber das haut nicht hin da kommt nicht solch eine Reihe hin ...
Ich hoffe du kannst mir nochmal helfen..

Luebe Grüße und vielen Dank..
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Neeee!
Wo ist denn da die Umordnung geblieben?

Das hier:



kannst Du nach unten abschätzen durch folgendes:



und dafür lässt sich das allgemeine Summenglied nun einfach hinschreiben, so dass sich schließlich die Anwendung des Trivialkriteriums aufdrängt.
Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort:
So wie ich das mitbekommen habe schätz du das so ab das du sagst du nimmst das kleinste Element in der Klammer und ziehst davon das kleinste ab.
Ist das korrekt?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In jedem neuen Klammerterm im Vorschlag verdoppelt sich die Anzahl der positiven Summanden (jeweils mit ungeradem Nenner), während immer jeweils nur ein negativer Summand (mit geradem Nenner) da aufgenommen wird. Bei genauerer Analyse sieht der n-te solche Klammerterm so aus:

,

es sind dabei genau positive Summanden zu finden. Mit Summensymbol geschrieben hat man also insgesamt die Umordnung



vorliegen.


EDIT: Ah sorry, Grautvornix ist zurück - dann melde ich mich ab. Wink
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Fast!

In jeder Klammer ersetzt man alle positiven Summanden durch den kleinsten von ihnen. Der Subtrahend bleibt unangetastet.

Ums abzukürzen, das Ganze sieht dann so aus:

Theend9219 Auf diesen Beitrag antworten »

Heeey ;D vielen Dank an euch beide..... Ja jetzt weis ich auch wie ich das zusammenfassen kann.. Aber muss ich nun von dieser Summeenschreibweise die divergenz schlussfolgern?


Liebe Grüße
Grautvornix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in der Tat, das solltest Du tun.

Das Stichwort dazu hatte ich bereits gegeben: Trivialkriterium.



Zeige also, dass



keine Nullfolge ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich nochmal kurz einmischen darf: Man hätte ja auch gleich ein wenig großzügiger für die positiven Summanden abschätzen können. Macht die Terme noch etwas einfacher. Augenzwinkern
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