Matrizen (Kern, Bild)

11.11.2013, 21:37

Lerni

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Matrizen (Kern, Bild)

Hallihallo,

ich habe 2 Matrizen A, B | C³ -> C³

A $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2i & 0 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und B

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0,5 & 0 & 0,5 \\ 0 & -i & 0 \\ 0,5 & 0 & -0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe war jetzt, die Abbildung zu bilden.

Sehe ich das richtig, dass der Kern $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?

Und das Bild L( $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C³ ist?

Bei der dritten Aufgabe habe ich noch so meine Probleme, aber ich wollte erstmal sichergehen, dass bis hierhin alles richtig ist.

MfG

11.11.2013, 21:43

Louis1991

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Beide Matrizen haben vollen Rang, also sind die Abbildungen injektiv und das Bild ist dreidimensional, also hier der ganze C^3. Daher hast du wohl alles richtig gemacht. Ich würde aber die Einheitsbasis als Erzeuger des Bildes nehmen (warum Zweien schreiben, wenn es Einsen auch tun?). Wobei jede andere Basis (damit auch deine) natürlich auch richtig ist.

lg

11.11.2013, 21:55

Lerni

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Gut soweit,

die letzte Teilaufgabe ist jetzt:

Seien nun L1 und L2 zwei beliebige lineare Abbildungen von $\begin{eqnarray*} C^{n} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} C^{n} \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft Bild(L1) $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ Kern(L2). Bestimmen Sie die Abbildungsvorschrift von L2 ° L1.

Ich lass mich von sowas immer abschrecken und weiß gerade gar nicht, was ich tun soll - auch wenn das vermutlich total offensichtlich/einfach ist, hab ich einfach keine ahnung -.-
Tipps wären toll

MfG

11.11.2013, 22:05

Louis1991

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Ich weiß nicht genau, was ich dazu sagen soll, ohne die Aufgabe zu lösen. Was macht L2 auf Elementen aus dem kern von L2? Mach dir das klar. Mach dir auch klar, dass L1(x) (nach Definition) im Bild(L1) liegt. Dann überlege dir, was passiert, wenn du L2(L1(x)) betrachtest.

11.11.2013, 22:11

Lerni

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Verständnishalber:

Ich wähle jetzt 2 beliebige matrizen aus.
Der Kern von Matrize(L2), soll ein Bild von der Matrize(L1) sein?
Also soll der Kern eine Spalte in der Matrize von L1 sein? Dann sollte ich wohl keine Matrize wählen, die einen Kern von 0,0,0 hat, oder spielt das im Endeffekt gar keine Rolle?

11.11.2013, 22:28

Louis1991

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1. Die Teilaufgabe hat mit den beiden vorhergehenden nichts zu tun.
2. Du musst/solltest keine Matrizen wählen. Das geht ganz ohne Matrizen, auf Ebene der Abbildungen.
Wie ist der kern einer Abbildung (linearen Abbildung von Vektorräumen) definiert?

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11.11.2013, 22:34

Lerni

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DIe Menge aller Vektoren, die in der Lage sind die 0 abzubilden?

11.11.2013, 23:09

Louis1991

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Sei f einer lineare Abbildung, x ist im kern von f genau dann wenn f(x)=0.

12.11.2013, 18:35

Lerni

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Soll f jetzt schon L1 ° L2 darstellen, oder ist das quasi L1?

12.11.2013, 23:54

Helferlein

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Das ist die Definition vom kern einer linearen Abbildung, wie sie Dir auch bekannt sein müsste.

Wenn Du nun irgendeinen Vektor x hast, was kannst Du dann über $\begin{eqnarray*} L_1(x) \end{eqnarray*}$ sagen und was folgt daraus für $\begin{eqnarray*} L_2(y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y=L_1(x) \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2013, 00:12

Lerni

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Ich versteh das einfach nicht gerade..

Kern ist Matrix*x = 0

Ich bin einfach nur durcheinander und sehe einfach gar nichts mehr, weil ich überall das und jenes lese. Kannst du mir ein L1 und ein L2 vorgeben, die die Kriterien erfüllen, damit ich das mal rechnen kann? Ich weiß, so ist es allgemein gültig, aber ich brauche grad was zum greifen mit Zahlen, sonst werd ich das vermutlich nie begreifen.

13.11.2013, 00:38

URL

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$\begin{eqnarray*} L_1(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_2(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: Sry, du wolltest Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ in sich
$\begin{eqnarray*} L_1(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_2(\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

13.11.2013, 00:45

Lerni

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Also sind (L2L1) = 0
Und die Abbildungsvorschrift wären hier (L2L1)(x) = 0 , da (L2L1) ja 0 sind, somit spielt der Vektor keine Rolle.. ist es das jetzt schon? ..

13.11.2013, 00:46

Louis1991

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Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} L_1(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_2(\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, was du mit dieser Schreibweise meinst. Aber beide meiner Interpretationsversuche lassen mich zu dem Schluss kommen, dass es diese "Abbildungen" nicht tun. Edit: okay, nach deinem Edit ist mir das jetzt eventuell klar. Trotzdem verwirrend imho.

Stattdessen z.B.:

set

$\begin{eqnarray*} L_1 =\begin{pmatrix}1&0\\ 0 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sich das an einem Beispiel klarzumachen ist aber wirklich spam. Es geht in diesem Fall wirklich sehr einfach über die zu Grunde liegenden Notationen (Beispiele sind vllt noch eher verwirrend).
Es ist manchmal gefährlich, sich lineare Abbildungen als Matrizen vorzustellen. Z.B. Insbesondere bei unendlich dimensionalen Vektorräumen ist das nichtmehr so klar.

lg

Edit 2:

Zitat:

Original von Lerni
Also sind (L2L1) = 0
Und die Abbildungsvorschrift wären hier (L2L1)(x) = 0 , da (L2L1) ja 0 sind, somit spielt der Vektor keine Rolle.. ist es das jetzt schon? ..

Das gilt jetzt in diesem Beispiel. Nun musst du zeigen, warum das für allgemeine Abbildungen mit dieser Eigenschaft gilt.

13.11.2013, 00:52

Lerni

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sorry für den doppelpost. will nich, dass der da über deinem untergeht.

Also sind (L2L1) = 0
Und die Abbildungsvorschrift wären hier (L2L1)(x) = 0 , da (L2L1) ja 0 sind, somit spielt der Vektor keine Rolle.. ist es das jetzt schon? ..

13.11.2013, 00:54

Lerni

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ok.. dann bin ich jetzt wohl raus. hab einfach zu viel stress gerade und kann mich damit nich auseinandersetzen. hab ich wohl pech gehabt

13.11.2013, 00:57

URL

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@Louis1991: Deswegen sind L_1 und L_2 bei mir auch nicht als Matizen dargestellt.
In der ersten Version sind es lineare Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ in sich. Und ich glaube noch immer, dass sie die gewünschten Eigenschaften haben.

13.11.2013, 01:06

Louis1991

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Zitat:

Original von URL
@Louis1991: Deswegen sind L_1 und L_2 bei mir auch nicht als Matizen dargestellt.
In der ersten Version sind es lineare Abbildungen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^{2\times 2} \end{eqnarray*}$ in sich. Und ich glaube noch immer, dass sie die gewünschten Eigenschaften haben.

Ja. Ich hatte nur nicht verstanden, dass du C^4 als C^(2x2) auffassen willst. Hat sich ja geklärt.

@Lerni: fang doch einfach mal von links nach rechts an:
sei x in V. Dann ist L1(x) im Bild von L1. Dann ist L1(x)... usw. Viele Schritte fehlen nicht.

13.11.2013, 01:17

Lerni

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also x liegt im bild(L1)

L1(x)=L2(L1(x))=(L2 ° L1)(x) =0

=> x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Kern(L2)

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