Linearitätsbeweis einer Abbildung

12.11.2013, 09:15	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearitätsbeweis einer Abbildung Meine Frage: Ich habe ein Frage zum Thema Liniaritätsnachweis. Wenn eine Abbildung x -> f(x) durch eine Matrix darstellbar ist, ist sie dann sofort linear ? Meine Ideen: Wenn das nicht geht, weiß ich das ich mit den drei Axiomen nachweisen muss.
12.11.2013, 12:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Matrix stehen Konstanten. Deren Verknüpfungen mit den Variablen sind das Ergebnis einer Matrixoperation ... Ist diese linear oder nicht? mY+
12.11.2013, 14:25	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ist sie, da man sie ja eigentlich andernfalls nicht darstellen könnte oder ? Zudem kann man daraus auch ein LGS aufstellen, was ja auch nur funktioniert wenn es linear ist oder ?
12.11.2013, 14:45	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -7x & 4y & -2z \\ & y & \\ 28x & -14y & 8z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ z+c \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -7x-a & 4y+b & -2z-c \\ & y+b & \\ 28x+a & -14y-b & 8z+c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -7x & 4y & -2z \\ & y & \\ 28x & -14y & 8z \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -a & b & -c \\ & b & \\ a & -b & c \end{pmatrix}=f\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}+f\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das so oder fehlt mir da noch etwas (abgesehen vom af(x) = f(ax) ) ?
13.11.2013, 11:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist etwas schiefgegangen, so ist der Rechenweg falsch, auch wenn zum Ende das Resultat wieder richtig ist. Für f(x+a; y+b; z+c) sind natürlich die (ganzen) Argumente x + a, y + b, z + c in die Matrixgleichung einzusetzen. Danach kannst du das Ganze nach der Matrix f(x; y; z)T und der Konstantenmatrix (-7a + 4b - 2c; b; 28a - 14b + 8c) = f(a; b; c) auftrennen, sodass du dann erst das Resultat f(x; y; z) + f(a; b; c) schreiben kannst. Klar? EDIT: Dein Doppelpost --> Zeigen, dass eine Abbildung linear ist wurde geschlossen. Hier geht's eventuell weiter, wenn du dich in Hinkunft an die Boardregeln hältst. mY+

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