Dreieckskonstruktion mit Kreis des Apollonius

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Wodka4188 Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieckskonstruktion mit Kreis des Apollonius
Hallo,

ich habe ein Probelm mit einer Aufgabe und stehe mächtig auf dem Schlauch.
und zwar sind von einem Dreieck die Länge der Seite AB, die Länge der durch B gehenden Seitenhalbierenden S_b gegeben. Außerdem ist bekannt, dass die durch A gehende Seitenhalbierende S_a doppelt so lang wie die durch C gehende Seitenhalbierende S_c sein soll.

Diese Konstruktion soll mit Hilfe des Kreises von Apollonius gelöst werden. Allerdings hab ich im moment echt kein Plan wie das funktionieren soll. Für hilfreiche Anmerkungen und Hinweise wäre ich echt dankbar.

lg
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dreieckskonstruktion mit Kreis des Apollonius
vielleicht so verwirrt

du weißt sicher, in welchem Verhältnis der Schwerpunkt was teilt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Werner

Die Skizze gibt mir ehrlich gesagt ziemliche Rätsel auf: Basiert die auf ? Gemäß des gegebenen müsste doch aber sein (vorausgesetzt, dass der Schwerpunkt sein soll), oder? verwirrt

Und irgendwie sieht ja nicht wirklich aus wie der Mittelpunkt von AB, also scheinst du damit was anderes zu meinen? Wie ich schon sagte, ich kann es nicht deuten.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "Versuch und Irrtum" scheint es so zu sein:

Auf der Strecke bestimme man im Abstand von den Punkt und zeichne einen Kreis um durch , die Mitte der Strecke (der Kreis hat also den Radius ). Dann scheint , die Mitte der Strecke , auf diesem Kreis zu liegen. Das Dreieck ist leicht zu konstruieren und kann zum Dreieck ergänzt werden.
Damit ein nicht-entartetes Dreieck existiert, muß gelten.
Konstruktionen und Messungen mit "Euklid" machen die Vermutung plausibel.

Ist der Kreis oben ein Apollonios-Kreis? Nach der Wikipedia-Figur würde die Rolle von und die Rolle von spielen. Aber wer spielt die Rolle von und von ?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal 9000
du hast natürlich vollkommen recht, ich habe am ende den falschen punkt erwischt
tut mir leid Gott
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
Wodka4188 Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm wie kommst du jetzt auf den Wert von ?
Sicher durch irgendwelche Beziehungen. muss ich nochmal scharf nachdenken... verwirrt
trotzdem schonmal DANKE! Wink

aach und der Kreis mit dem RAdius von ist der Apollonius-Kreis?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold


ich geh auf Urlaub

ja, wenn´s einem rein....., dann halt kräftig unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe meine Ergebnisse durch analytische Rechnungen erhalten, nicht mittels synthetischer Geometrie. Ich kann dir nicht sagen, zu welcher sinnvollen (!) Strecke der Kreis der Apollonios-Kreis ist.
Im Anhang findest du eine Zeichnung mit dynamischer Geometrie. Verwende zum Öffnen Euklid.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Leopolds Konstruktion lässt sich auch via Apollonius erklären, und zwar über Werners Konstruktion mit den korrigierten Werten

Zitat:
Original von HAL 9000
Gemäß des gegebenen müsste doch aber sein (vorausgesetzt, dass der Schwerpunkt sein soll)

D.h. man betrachtet einen Kreis mit dem Durchmesser , wobei auf Strecke sowie auf Strecke liegt mit





Dieser Apolloniuskreis für Schwerpunkt besitzt damit Radius und Mittelpunkt , d.h. mit bzw. .

Da nun alle Schwerelinien im Verhältnis 2:1 teilt, geht Schwerpunkt bei zentrischer Streckung mit Zentrum und Faktor in den Seitenmittelpunkt über. Nun kann man aber auch Kreis dieser zentrischen Streckung unterziehen, er geht dann in Kreis über (der insbesondere dann Punkt enthält!) mit Radius sowie Mittelpunkt auf mit .

Und genau das ist der entsprechende Part aus Leopolds Konstruktion.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, HAL. Jetzt wird alles klar. Vielleicht sollte man noch erwähnen, daß HALs der Apollonioskreis der Strecke zum Verhältnis ist. Bei der zentrischen Streckung von aus mit dem Streckfaktor geht nicht nur in über, auch die Natur als Apollonioskreis bleibt erhalten. Man muß nur die Strecke derselben zentrischen Streckung unterwerfen. Entsteht aus Punktspiegelung von an und ist die Mitte der Strecke , dann gilt vermöge dieser zentrischen Streckung



Damit ist der Apollonioskreis der Strecke zum Verhältnis .

Man kann das im nachhinein auch anders begründen: Zunächst definiert man die Punkte und , wie ich es gerade getan habe. Dann ist ein Parallelogramm, womit die Streckenlänge besitzt. Und ist Mittellinie im Dreieck und hat damit die halbe Länge von , also . Somit ist das Verhältnis der Längen von und gleich . Daher liegt auf dem Apollonioskreis der Strecke zum Verhältnis .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein komplett anderer Weg, der die Forderung "Apollonius verwenden" ignoriert: Über gelangt man mit




zu , umgestellt zu . Dies in



eingesetzt erhält man zunächst , also umgestellt , was (über Pythagoras und Strahlensatz) aus und konstruierbar ist. Allerdings - das muss ich zugeben - ist diese -Hilfskonstruktion letzten Endes wohl aufwändiger als die obige Apollonius-Konstruktion. Auf jeden Fall ist sie unansehnlicher. Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

"aus dem Urlaub zurück", wage ich es noch einmal.
man beachte den titel Augenzwinkern

die konstruktion mit apollonius läuft über , da gilt



(und NICHT 2:1)
Wodka4188 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend und danke erstmal für die zahlreichen antworten. allerdings ist mir manches noch nicht klar. verwirrt verwirrt verwirrt
erstens zu Hal 9000´s Lösung. und zwar soll ich am anfang einen kreis mit radius benutzen. mir ist aber nicht klar wie du auf die werte daffür kommst? (also
?)
zweitens zu der konstruktion von riwe: kannst du mir evtl die ersten schritte erlären?

danke und lg!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Grundlage hat Leopold nochmal deutlich herausgestellt:

Zitat:
Original von Leopold
Vielleicht sollte man noch erwähnen, daß HALs der Apollonioskreis der Strecke zum Verhältnis ist.


Und wie genau hast du dir denn den die Konstruktion des Apolloniuskreises angeschaut?
Wodka4188 Auf diesen Beitrag antworten »

mmh okay, wenn ich mir die erklärung des apolloniuskreises angucke, ergibt das auch mehr sinn. ich habe hier eine erklärung, die wir mit benutzen sollen und da wurde ich aus dem irgendwie nicht schlau draus... na ich guck mir das jetzt nochmal in ruhe an und probiere mal von meiner leitung, auf der ich stehe, runter zu steigen...
danke
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wodka4188
Guten Abend und danke erstmal für die zahlreichen antworten. allerdings ist mir manches noch nicht klar. verwirrt verwirrt verwirrt
erstens zu Hal 9000´s Lösung. und zwar soll ich am anfang einen kreis mit radius benutzen. mir ist aber nicht klar wie du auf die werte daffür kommst? (also
?)
zweitens zu der konstruktion von riwe: kannst du mir evtl die ersten schritte erlären?

danke und lg!

1) bastle die strecke AB
2) halbiere sie, der halbierungspunkt sei
3) nun konstruiere den apolloniuskreis bezüglich der strecke unter 2) im verhältnis

4) den rest erledigt die bekannte seitenhalbierende , die den Schwerpunkt S liefert
Wodka4188 Auf diesen Beitrag antworten »

Ha ich habs! danke danke danke danke!!!!!!!!!!! Wink Gott Mit Zunge
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