Bezoutkoeffizient

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edi61 Auf diesen Beitrag antworten »
Bezoutkoeffizient
Meine Frage:
Wie lauten die Bezout-Koezienten zu

Beweis!!

Meine Ideen:
Meine Idee:

Bei der Folge c handelt es sich um die Fibonacci Folge.




Was ich bis jetzt rausgekriegt habe ist:




Das heißt: Der ggt von 2 aufeinander folgenden Fibonaccizahlen ist 1.

Wie beweise ich diese Gleichung?

Ich habe es mit der Induktion versucht, aber bin dran gescheitert.

mfg edi
edi Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir keiner zu dieser Aufgabe weiterhelfen?

mfg edi
edi Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal um es deutlicher zu machen:


Der ggt von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist immer 1!

für alle

Wenn ich die Bezoutkoeffizienten berechne, bekomme ich Zahlen aus der Fibonaccifolge mit abwechselnden Vorzeichen.

Als Beispiel:



Nun die Bezoukoeffizienten:

1 =

= 3 - 1 * 2
= 3 - 1 * (5 - 1 * 3)
= -1 * 5 + 2 * 3
= -1 * 5 + 2 * (8 - 1 * 5)
= 2 * 8 - 3 * 5
= 2 * 8 - 3 * (13 - 1 * 8)
= -3 * 13 + 5 * 8
= -3 * 13 + 5 * (21 - 1 * 13)
= 5 * 21 - 8 * 13
= 5 * 21 - 8 * (34 - 1 * 21)
= -8 * 34 + 13 * 21
= -8 * 34 + 13 * (55 - 1 * 34)
= 13 * 55 - 21 * 34



bei der Berechnung der Bezoutkoeffizienten kann ich sehen, dass sich die Vorzeichen ändern.

Daher die Formel:



Jetzt muss ich die Formel beweisen, aber wie?

mfg
russianbrother Auf diesen Beitrag antworten »

Deine herausgefundene Formel scheint richtig zu sein und du kannst es ja auch ein bisschen leichter formulieren:



Leider stecke ich auch an dem Beweis fest...
edi Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne die Bezoutkoeffizienten für c7 und c8 dann wirst du merken, dass deine Vereinfachung nicht korrekt ist.

Musst du eigentlich nicht. Lese die Bezoutkoeffizienten einfach aus meiner Berechnung. Die Vorzeichen der Bezoutkoeffizienten der Vorletzten Zeile sind vertauscht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von edi61
Ich habe es mit der Induktion versucht, aber bin dran gescheitert.

Schade, denn damit klappt es doch: Im Induktionsschritt kannst du umformen

.
 
 
edi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp. Nach dem Ausklammern ist die Aufgabe leicht. Die Frage ist wieso schreibst du zu und zu und nicht etwas anderes. Welche Idee steckt dahinter?

edi
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