Normalteilerrelation ist nicht transitiv

12.11.2013, 20:42

Lula90

Normalteilerrelation ist nicht transitiv

Hey! Hab in meinem Algebra-Buch folgende Aufgabe mit Lösung gefunden:

Finden sie ein Beispiel für Gruppen $\begin{eqnarray*} K \subseteq H \subseteq G \end{eqnarray*}$ , wobei K Normalteiler von H und H Normalteiler von G, aber nicht K Normalteiler von G ist.

K= alterniernde Gruppe der Ordnung 4
H={1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
G={1, (12)(34)}

Ist zwar nicht Teil der Aufgabe gewesen, aber ich würde gerne wissen, wie man das beweist?

Vieleicht kann mir jemand mal so einen Beweis erklären? Danke, lula.

12.11.2013, 21:57

Reksilat

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RE: Normalteilerrelation ist nicht transitiv
Hallo Lula,

Wo genau liegt denn das Problem?
Zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} G\not\!\!\unlhd K \end{eqnarray*}$ ist, sollte durch Angabe eines $\begin{eqnarray*} x\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} xG\neq Gx \end{eqnarray*}$ nicht schwer fallen.
$\begin{eqnarray*} H\unlhd K \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ alle Elemente der Ordnung 2 in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthält.
$\begin{eqnarray*} G\unlhd H \end{eqnarray*}$ ist klar, wenn man sich mal $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ etwas genauer anguckt.

Gruß
Reksilat

13.11.2013, 00:46

Lula90

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Ach, reicht es also, einfach zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} (13)(24)\cdot (12)(34)\neq (12)(34)\cdot (13)(24) \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2013, 11:05

Reksilat

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Nein, das reicht nicht. Insbesondere da die Aussage falsch ist.
$\begin{eqnarray*} (13)(24)\cdot (12)(34)= (12)(34)\cdot (13)(24)=(14)(23) \end{eqnarray*}$
H ist abelsch!

13.11.2013, 11:32

Lula90

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hab das prinzip wohl nicht verstanden. kannst du vllt ein x nennen, wodurch es klar wird?

13.11.2013, 11:35

Reksilat

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Wie wäre es mit einem x das nicht in H liegt?

13.11.2013, 12:10

Lula90

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(243)?

13.11.2013, 14:37

RavenOnJ

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RE: Normalteilerrelation ist nicht transitiv
@Reksilat

Zitat:

Original von Reksilat

$\begin{eqnarray*} H\unlhd K \end{eqnarray*}$ folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ alle Elemente der Ordnung 2 in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ enthält.

Gilt das so generell? Mir ist klar, dass dies gilt, wenn alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ (außer 1) Ordnung 2 haben und alle Elemente der Ordnung 2 in $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ enthalten sind. Aber gilt dies auch, wenn es zusätzlich Elemente größerer Ordnung in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gibt? Wenn ja, warum?

13.11.2013, 16:52

Reksilat

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RE: Normalteilerrelation ist nicht transitiv
@Lula: Nicht fragen, sondern rechnen. Schau doch einfach mal, ob xG=Gx gilt.

@Raven: Dass die Elemente in H kein andere Ordnung haben (1 mal ausgenommen), muss man natürlich noch dazu sagen, da hast Du recht. Ich hätte wohl besser "H enthält genau alle Elemente der Ordnung 1 oder 2 von K" schreiben sollen.
smile

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