Linearität zeigen R^3 -> R^3 und Matrixdarstellung |
13.11.2013, 18:02 | Mathefail_2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Linearität zeigen R^3 -> R^3 und Matrixdarstellung Heyho, ich bin Studienanfänger(Informatik) und bin mir nicht sicher, ob ich eine Aufgabe richtig, bzw. ausreichend gelöst habe. Die Aufgabenstellung ist: Gegeben sei die Abbildung 1. Zeigen Sie, dass f linear ist und stellen sie f als Matrix dar. ... Also, auf onlinetutorium.com wurde das ganze so erklärt: Seien V und W -Vektorräume. Eine Abbildung f:V->W heißt linear, wenn und bzw. in einem Schritt: wobei f.a Meine Ideen: Also, hier mein Lösungsansatz: Ich habe den kürzeren Weg gewählt, also zu zeigen: Es gilt also zu zeigen, dass Dann mal los: = Somit ist , da = was zeigen war. f ist also linear [] Ist das soweit richtig und ausreichend? Ich bin immer etwas verwirrt mit den x1,y1... x2, y2. Mit der Matrixdarstellung bin ich mir nicht sicher, wäre richtig? Wäre Klasse, wenn sich das Ganze jemand anschauen könnte. Vielen Dank im Vorraus lg |
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13.11.2013, 18:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
RE: Linearität zeigen R^3 -> R^3 und Matrixdarstellung Jetzt wollen wir mal hoffen, daß du nicht identisch mit IXI bist. Siehe: Zeigen, dass eine Abbildung linear ist Das Problem an dieser Aufgabe ist hier:
Rechts steht keine 3x3-Matrix, sondern eher eine 3x1-Matrix, obwohl die Abbildung nach R³ gehen soll. Falls die Abbildung dennoch nach R geht, ist der Beweis leider falsch, obwohl das richtige am Ende rauskommt. Vielleicht solltest du eher nicht die Kurz-Variante nehmen. |
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13.11.2013, 19:08 | Mathefail_2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Haha, nein, das bin ich nicht. Jedoch scheinbar eindeutig jemand aus meinem Kurs Wie meinst du das, "wenn sie nach R geht"? Die Abbildung geht von R^3 nach R^3. Und wie kann der Beweis falsch sein, wenn das richtige am Ende herauskommt? Ich bin gerade etwas verwirrt |
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14.11.2013, 08:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Da paßt aber nicht dein Latexcode für die Abbildung zu. Da schreibst du, daß der Vektor (x, y, z) auf
Das sieht dann so aus: EDIT: obiges ist Unfug. Sorry. Einafch überlesen.
Das Problem ist an dieser Stelle:
Zunächst ist Und jetzt überlege, was das Bild von gemäß der Definition der Abbildung f ist. Jedenfalls zunächst nicht das, was du geschrieben hast. Erst ein / zwei Schritte später kommt das so raus. Aber genau das ist ja eben zu zeigen. |
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14.11.2013, 12:34 | Mathefail_2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Erstmal vielen Dank für die Antwort. Ich hab dann mal mal Weg 1, das getrennte Nachweisen durchgeführt: 1. Lineare Bedingung: = = = = + = Es gilt also, dass Ist die rerste Bedinung soweit korrekt durchgeführt? lg |
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14.11.2013, 12:47 | Mathefail_2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Hier übrigens noch der korrekte Latex-Code für die Abbildungsvorschrift: Hoffe, das wird jetzt korrekt angezeigt. |
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14.11.2013, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Es sind immer diesen kleinen formalen Dinge. So ist es richtig: Übrigens: was ich zum Thema "Abbildung nach R³" gesagt habe, war irgendwie Unfug. Sorry. Ich muß mal meine Hirnwindungen überprüfen. |
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14.11.2013, 13:29 | Mathefail_2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Jjaja die Formalitäten... ich verstehe nicht ganz, warum der "umgekehrte Weg", also zuerst ausklammern und dann wieder auseinanderziehen richtig ist, aber ich vertraue ihnen dann ganz einfach mal Mein zweiter Nachweisteil lautet dann: Zweite lineare Bedingung: = = = = = = Ich hoffe, diesmal ist es gleich richtig ^^. Eine letzte Frage hätte ich dann noch, und zwar wie ich diese Abbildungsvorschrift als Matrix darstellen kann. War meine, im Eingangspost ganz unten gezeigte Matrix richtig oder muss ich da anders rangehen? lg |
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14.11.2013, 14:37 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Also zunächst ist aus folgendem Grund: Die Abbildungsvorschrift besagt für die 1. Komponente des Bildvektors: nimm das -7-fache der 1. Komponente des Urbildvektors (das ist -7 * (x_1 + x_2) ), addiere das 4-fache der 2. Komponente des Urbildvektors (das ist 4 * (y_1 + y_2) ) und addiere dann das -2-fache der 3. Komponente des Urbildvektors (das ist -2 * (z_1 + z_2) ) . Dann erst kann man die Klammern ausmultiplizieren und umsortieren.
Auch hier gilt erstens das oben Gesagte und zweitens ist lambda ein Skalar und kein Vektor.
Die Matrix ist richtig bezüglich der Standardbasis von R³. Rein formal müßte hier aber noch eine Begründung her. EDIT: kleine Korrektur im letzten Satz. |
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14.11.2013, 17:38 | Mathefail_2013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||||
Ich wurde erleuchtet. Danke vielmals |
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