Invarianz eines linearen Operators

14.11.2013, 13:23	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Invarianz eines linearen Operators Hallo, würde mich über eine Hilfestellung zu folgender Aufgabe freuen: Gegeben sei $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} V=\mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ). Welche linearen Operatoren lassen die Gerade $\begin{eqnarray} g:x+2y=3 \end{eqnarray}$ (bzw. die Ebene $\begin{eqnarray} E:x-z=1 \end{eqnarray}$ invariant bzw. bewirken nur eine Parallelverschiebung von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ (bzw. $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ )? Für die Gerade habe ich mir überlegt, dass der Richtungsvektor $\begin{eqnarray} RV_g=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist, das bedeutet, dass der lineare Operator folgende Eigenschaft besitzen muss: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann kann man leicht die Koeffizienten bestimmen. Ist das die richtige Lösung? Für die Ebene gibt es aber zwei Basisvektoren, wie solle ich hier vorgehen?
14.11.2013, 18:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, das ist zu restriktiv. Nimm 2 allgemeine Punkte aus der Geraden, ihre Bilder müssen 2 verschiedene Punkte auf der Geraden sein, bzw. auf einer zu g parallelen Geraden. Genau so mit 3 allgemeinen Punkten in der Ebene.
15.11.2013, 21:01	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir für die Gerade sagen, was du genau meinst. Dann bekomme ich die Eben sicher alleine hin!
16.11.2013, 09:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(0,1.5) und (3,0) müssen offensichtlich auf der Geraden liegen, ihre Bilder auch. Also ist 1.5b+3d=3a+6c=3. Ist das notwendig ? Ja. Ist das hinreichend ? Vermutlich ja, aber die Bilder müssen verschieden sein.
16.11.2013, 14:00	Freedom Wizard	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Ebene habe ich bereits gelöst.
19.11.2013, 14:07	doris93	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand erklären wie man auf 1.5b+3d=3a+6c=3 kommt? Steh leider komplett auf der Leitung
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19.11.2013, 17:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@doris93 das ist doch sonnenklar: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1.5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1.5\cdot b \\ 1.5\cdot d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\cdot a \\ 3\cdot c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weil die Bildpunkte auf der Geraden liegen, gilt $\begin{eqnarray} x_1+2y_1=x_2+2y_2=3 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} 1.5\cdot b+3\cdot d=3\cdot a+6\cdot c=3 \end{eqnarray}$ .
20.11.2013, 21:24	doris93	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, bin leider vollkommen auf der leitung gestanden

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