Summe messbarer Funktionen

14.11.2013, 17:46

steviehawk

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Summe messbarer Funktionen

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte zeigen, dass die Summe zweier messbarer Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ wieder messbar ist. Ich weiß, dass es ganz einfach über die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} +: \mathbb R^n \times \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ aber ich wir hatten in Wahrscheinlichkeitstheorie leider nur sehr wenige Sätze zur Maßtheorie, daher würde ich gerne versuchen es etwas elementarer zu zeigen.

Meine Ideen:
Also sei $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ messbar. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \{ f \leq t\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ g \leq t\} \end{eqnarray*}$ messbar sind. Wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{-1}((-\infty,t])= \{ \omega \in \Omega | f(\omega) \leq t\} = \{ f \leq t \} \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt also zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} \{ f+g \leq t \} \end{eqnarray*}$ messbar ist.

Folgende Idee:

Ich schreibe mir: $\begin{eqnarray*} \{ f+g \leq t \} \end{eqnarray*}$ um, zu: $\begin{eqnarray*} \{ f \leq t-g \} \end{eqnarray*}$ jetzt setze ich: $\begin{eqnarray*} (t-g) =: h \end{eqnarray*}$

es gilt dann: $\begin{eqnarray*} \{ h \leq t \} = \{t- g \leq t \} = \{ 0 \leq g\} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ messbar war ist dann auch h messbar.

Nun ist $\begin{eqnarray*} \{ f \leq h \} = \bigcup_{t\in \mathbb R}( \{ f \leq t \} \cap \{ h \geq t \}) \end{eqnarray*}$ also messbar..

schließlich: $\begin{eqnarray*} \{ f+g \leq t \} = \{ f \leq h\} \end{eqnarray*}$ messbar.

Geht das in die richtige Richtung?? Danke für Korrektur.

14.11.2013, 17:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
es gilt dann: $\begin{eqnarray*} \{ h \leq t \} = \{t- g \leq t \} = \{ 0 \leq g\} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ messbar war ist dann auch h messbar.

Das ist so geschrieben formal inkorrekt: $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist ein (im Rahmen der $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ -Definition) fester Wert. Wenn du die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ nachweisen willst, musst du die Messbarkeit der Mengen $\begin{eqnarray*} \{ h\leq t' \} \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t' \end{eqnarray*}$ (nicht nur wie du für $\begin{eqnarray*} t'=t \end{eqnarray*}$ ) nachweisen, was natürlich über

$\begin{eqnarray*} \{ h\leq t' \} = \{ t-g\leq t' \} = \{ g\geq t-t' \} \end{eqnarray*}$ ,

auch nicht schwerer ist.

Zitat:

Original von steviehawk
Nun ist $\begin{eqnarray*} \{ f \leq h \} = \bigcup_{t\in \mathbb R}( \{ f \leq t \} \cap \{ h \geq t \}) \end{eqnarray*}$ also messbar..

Die nächste Inkorrektheit: $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist überabzählbar - die Sigma-Algebra-Eigenschaften sichern aber nur die Zugehörigkeit von abzählbaren Vereinigungen!!! Ist aber auch reparierbar, wenn auch nicht so einfach sehbar (für Laien). Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.11.2013, 18:21

steviehawk

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Hallo Hal 9000

für die Vereinigung nehme ich natürlich $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wir hatten in der VL auch schon gesagt, dass das geht.

mit der Korrektur am t zu t' ist ja dann $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ messbar..

passt dann der Rest?

14.11.2013, 18:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
für die Vereinigung nehme ich natürlich $\begin{eqnarray*} t \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ wir hatten in der VL auch schon gesagt, dass das geht.

Nein, das geht hier nicht so einfach - denk mal genau nach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zur Untermalung: Nehmen wir z.B. mal $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} f(\omega) = h(\omega) = \omega \end{eqnarray*}$ . Dann ist zweifelsohne $\begin{eqnarray*} \{f\leq h\} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Deine "reparierte" Gleichung

$\begin{eqnarray*} \{ f \leq h \} \stackrel{?}{=} \bigcup_{t\in \mathbb Q}( \{ f \leq t \} \cap \{ h \geq t \}) \end{eqnarray*}$

liefert dann aber rechts die Menge

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{t\in \mathbb Q}( \{ \omega:\: \omega \leq t \} \cap \{ \omega:\: \omega \geq t \}) = \bigcup_{t\in \mathbb Q}( \{ \omega:\: \omega = t \} = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Was nun? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.11.2013, 18:33

steviehawk

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wie wäres es mit $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2013, 18:35

HAL 9000

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Genau, denn

$\begin{eqnarray*} \{ f < h \} \stackrel{!}{=} \bigcup_{t\in \mathbb Q}( \{ f < t \} \cap \{ h > t \}) \end{eqnarray*}$

stimmt wieder aufgrund der Dichtheit von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Also: Aufpassen bei Analogieschlüssen! smile

smile

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14.11.2013, 18:46

steviehawk

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Dann fange ich vielleicht den ganzen Beweis gleich an mit:

Seien $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ messbar, dann gilt $\begin{eqnarray*} \{ f < t \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{ g < t\} \end{eqnarray*}$ messbar.
(hier kann ich ja noch das gleich t wählen, da ich das für beliebige t möchte)

Zeige Hilfsaussage: k,h messbare Funktionen, dann gilt: $\begin{eqnarray*} \{k < h \} \end{eqnarray*}$ ist messbar. denn $\begin{eqnarray*} \{ k < h \} = \bigcup_{t \in \mathbb Q} (\{ k < t \} \cap \{ h > t\}) \end{eqnarray*}$ .

wichtig: $\begin{eqnarray*} <,>, \leq, \geq \end{eqnarray*}$ sind hier ja alle äquivalent, was die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} \{ f < t \} \end{eqnarray*}$ angeht.

zu zeigen ist nun: $\begin{eqnarray*} \{ f+g < t\} \end{eqnarray*}$ ist messbar. Sei $\begin{eqnarray*} h:=t-g \end{eqnarray*}$ dann folgt die Messbarkeit von $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ wegen: $\begin{eqnarray*} \{ h < t' \} = \{ g < t' +t \} \end{eqnarray*}$

schließlich: $\begin{eqnarray*} \{ f+g < t\} = \{ f < h\} \end{eqnarray*}$ messbar, wegen der Hilfsaussage.

hoffe so passt es..

Danke HAL 9000

FÜR $\begin{eqnarray*} f \cdot g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g}, g \neq 0 \end{eqnarray*}$ müsste es doch so ähnlich laufen oder?

14.11.2013, 18:49

HAL 9000

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Bis auf den Fehler $\begin{eqnarray*} \{ h < t' \} \stackrel{?}{=} \{ g < t' +t \} \end{eqnarray*}$ ist es Ok - richtig ist da (s.o.)

$\begin{eqnarray*} \{ h < t' \} = \{ g > t-t' \} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von steviehawk
FÜR $\begin{eqnarray*} f \cdot g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{f}{g}, g \neq 0 \end{eqnarray*}$ müsste es doch so ähnlich laufen oder?

Bei $\begin{eqnarray*} f\cdot g \end{eqnarray*}$ ist es etwas haarig, das mit den Vorzeichen richtig hinzutrimmen. Ich kenne da folgenden, eleganteren Weg.

1. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ messbar, $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ reelle Konstante $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} cf \end{eqnarray*}$ messbar
2. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ messbar
3. Nutze $\begin{eqnarray*} f\cdot g = \frac{1}{4} ((f+g)^2-(f-g)^2) \end{eqnarray*}$ in Kombination mit 1./2. sowie der bekannten Messbarkeit der Summe.

Und bei der Division reicht es dann noch

4. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ messbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g} \end{eqnarray*}$ messbar

nachzuweisen.

14.11.2013, 19:20

steviehawk

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Danke HAL 9000, ich versuch mal mein bestes smile

smile

1) Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ messbar und $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \{ cf < t\} = \{ f < \frac{t}{c}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{t}{c} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ also steht es ja direkt da.

2) hier komme ich auf nichts unglücklich

unglücklich

3) hier ist man ja mit 1) und 2) direkt fertig.

4) hier habe ich wieder: $\begin{eqnarray*} \{ \frac{1}{g} < t\} = \{ \frac{1}{t} < g\} \end{eqnarray*}$ falls g postiv

und $\begin{eqnarray*} .. = \{ \frac{1}{t} > g\} \end{eqnarray*}$ falls g negativ war. Und da g messbar ist dies auch wieder messbar..

noch einen Tipp zu 2?

14.11.2013, 19:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
4) hier habe ich wieder: $\begin{eqnarray*} \{ \frac{1}{g} < t\} = \{ \frac{1}{t} < g\} \end{eqnarray*}$ falls g postiv

und $\begin{eqnarray*} .. = \{ \frac{1}{t} > g\} \end{eqnarray*}$ falls g negativ war. Und da g messbar ist dies auch wieder messbar..

Wieder mal: Genauer arbeiten! Es ist

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{g} < t\right\} = \left(\left\{ \frac{1}{g} < t\right\} \cap \{g>0\}\right) \cup \left(\left\{ \frac{1}{g} < t\right\} \cap \{g<0\}\right) = (\{ gt>1 \} \cap \{g>0\}) \cup (\{ gt<1 \} \cap \{g<0\}) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ wird daraus

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{g} < t\right\} = \left(\left\{ g > \frac{1}{t}\right\} \cap \{g>0\}\right) \cup \{g<0\} \end{eqnarray*}$ ,

während für $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ abweichend

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{g} < t\right\} = \left\{ g > \frac{1}{t} \right\} \cap \{g<0\} \end{eqnarray*}$

herauskommt, und $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist mit

$\begin{eqnarray*} \left\{ \frac{1}{g} < 0\right\} = \{ g < 0 \} \end{eqnarray*}$

eh klar.

Und zu $\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ : Für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} \{f^2 < t \} = \{ |f| < \sqrt{t} \} = \{ -\sqrt{t} < f < \sqrt{t} \} \end{eqnarray*}$ .

Und für $\begin{eqnarray*} t\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist eh $\begin{eqnarray*} \{f^2 < t \} = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

08.06.2015, 13:51

steviehawk

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Hallo, ich habe mir gerade meinen alten Beitrag angeschaut, weil ich mich mal wieder mit Maßtheorie beschäftige.

Was hier gezeigt wurde ist doch genau genommen "nur" die Borel-Messbarkeit der Funktionen oder?

Müsste ich für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: (\Omega, \mathcal A) \to (\Omega', \mathcal A') \end{eqnarray*}$ i.A. den Beweis nicht anders führen?

Hier wüsste ich dann: $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ mb. dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal A') \subset A \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} g^{-1}(\mathcal A') \subset A \end{eqnarray*}$

hieraus müsste ich dann den Rest folgern oder? Ich muss den Beweis jetzt nicht unbedingt führen smile

smile

ging mir nur um das Verständnis..

Danke Wink

Wink

08.06.2015, 14:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Müsste ich für eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: (\Omega, \mathcal A) \to (\Omega', \mathcal A') \end{eqnarray*}$ i.A. den Beweis nicht anders führen?

Welchen Beweis? Wenn es um die Meßbarkeit von $\begin{eqnarray*} f^2,f\cdot g \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f+g \end{eqnarray*}$ geht, dann brauchst du ja erstmal eine algebraische Struktur auf $\begin{eqnarray*} \Omega' \end{eqnarray*}$ (zumindest Ring) !!! Welche wäre das bei dir nun in diesem allgemeinen Fall? verwirrt

verwirrt

08.06.2015, 14:37

steviehawk

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Ich dachte jetzt einfach an eine Abbildung zwischen zwei Messräumen. Die algebraische Struktur wäre dann die $\begin{eqnarray*} \sigma - Algebra \mathcal A \end{eqnarray*}$

Wir haben als Definition einer messbaren Abbildung vereinbart: Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f : ( \Omega, \mathcal A) \to ( \Omega' \mathcal A' ) \end{eqnarray*}$ heißt messbar, wenn das Urbild jeder messbaren Menge (also die Elemente von $\begin{eqnarray*} \mathcal A' \end{eqnarray*}$ ) wieder messbar sind (also in $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ liegen).

kurz: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\mathcal A') \subseteq \mathcal A \end{eqnarray*}$

es reicht auch dies für ein ERZS nachzuweisen. Genau das haben wir ja in diesem Thread für die Borel-Sigma Algebra und das ERZS $\begin{eqnarray*} (-\infty,t) \end{eqnarray*}$ gemacht.

Also habe ich gezeigt, dass die Summe zweier Borel-messbaren Funktionen wieder Borel-messbar ist.

Ich kann ja aber auch zwei endliche Räume nehmen zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} f: \Omega =\{1,2,3\} \to \Omega' \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

jetzt brauche ich noch 2 $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ Algebren: $\begin{eqnarray*} \mathcal A = \{ \emptyset, \Omega, \{1\}, \{2,3\} \} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \mathcal A' = \{ \emptyset, \Omega, \{2\}, \{1,3\} \} \end{eqnarray*}$

jetzt nehme ich 2 messbare Abbildungen, die kann ich mir ja konstruieren.

f(x) = 2 (konstant) ist messbar, das sieht man leicht (alle Urbilder messbarer Mengen sind messbar)

g(x) = 1 (konstant) ist messbar...

wenn ich jetzt sie Summe von f und g betrachte habe ich ja:

f+g(x) = f(x) + g(x) = 2+1=3 (konstant) ist auch messbar, sieht man wieder über die Urbilder..

Also das Beispiel macht jetzt nicht besonders viel Sinn, ich wollte nur andeuten, dass es ja Messbarkeit ein relativ allgemeiner Begriff ist und ich das Gefühlt hatte, dass ich bislang nur gezeigt habe, dass die Summe von Borel-Messbaren Abbildung wieder Borel-Messbar ist..

08.06.2015, 14:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Ich dachte jetzt einfach an eine Abbildung zwischen zwei Messräumen. Die algebraische Struktur wäre dann die $\begin{eqnarray*} \sigma - Algebra \mathcal A \end{eqnarray*}$

Du hast überhaupt nicht verstanden, was ich mit algebraische Struktur gemeint habe. Finger1

Finger1

Zitat:

Original von steviehawk
jetzt nehme ich 2 messbare Abbildungen, die kann ich mir ja konstruieren.

f(x) = 2 (konstant) ist messbar, das sieht man leicht (alle Urbilder messbarer Mengen sind messbar)

g(x) = 1 (konstant) ist messbar...

Ich nehme mal ein anderes Beispiel:

f(x)=2 und g(x)=3, beide messbar.

Was ist denn bei dir nun bitteschön h:=f+g für eine Funktion, die ja nun auch $\begin{eqnarray*} \Omega\to\Omega' \end{eqnarray*}$ abbilden soll....

Vielleicht ist es dir jetzt klar, warum ich gefragt habe.

-----------------------------------

Freundlich formuliert: Die Frage nach Messbarkeit von $\begin{align*} f+g \end{align*}$ oder $\begin{align*} f\cdot g \end{align*}$ für Funktionen $\begin{align*} f:\; (\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}') \end{align*}$ mit einem $\begin{align*} \Omega' \end{align*}$ , wo die algebraischen Operationen +,* gar nicht definiert sind bzw. aus der Menge herausführen, ist bestenfalls "verfehlt" oder "unüberlegt" zu nennen.

08.06.2015, 15:00

steviehawk

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Okay, jetzt verstehe ich worauf du hinaus wolltest. Du hattest ja schon das Wort "Ring" erwähnt.

Aber es gibt doch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht nur die Borel-Sigma Algebra oder?

Wahrscheinlich verstehe ich es noch nicht wirklich. Ich habe immer noch das Gefühl, als hätte ich nur gezeigt, dass die Summe zweier Borel-messbaren Fkt. wieder Borel-messbar ist. verwirrt

verwirrt

08.06.2015, 15:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Ich habe immer noch das Gefühl, als hätte ich nur gezeigt, dass die Summe zweier Borel-messbaren Fkt. wieder Borel-messbar ist. verwirrt

verwirrt

Ja, hast du. Aber was meinst du mit "nur"?

08.06.2015, 15:33

steviehawk

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Vielleicht ist das jetzt ne blöde Frage. Aber gibt es denn nicht auch Abbildungen zum Beispiel von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ die messbar sind (bzgl. einer $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ Algebra) aber nicht Borel-messbar?

08.06.2015, 15:37

HAL 9000

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Es besteht die Übereinkunft, dass man bei Funktionen $\begin{align*} \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{align*}$ unter "messbar" ohne Nennung der Sigma-Algebren immer die Borel-Messbarkeit meint. Wenn du Messbarkeiten bzgl. anderer Sigma-Algebren betrachten willst, dann musst du das dazusagen!

08.06.2015, 15:53

steviehawk

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Okay, dann nehme ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und die $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ Algebra:

$\begin{eqnarray*} \mathcal A := \{ A \subseteq R | A \text{abzählbar oder} A^c \text{ ist abzählbar} \} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb R, \mathcal A) \to (\mathbb R, \mathcal A) \end{eqnarray*}$ betrachte, dann sieht die Situation doch anders aus.

Jetzt kann ich ja nicht Mengen der Form $\begin{eqnarray*} \{ f < c\} \end{eqnarray*}$ betrachten für den Beweis. Das war eben was spezielles bei der Borel-Messbarkeit. Richtig?

08.06.2015, 16:10

HAL 9000

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Stimmt, das macht keinen Sinn: Diese Mengen wurden ja betrachtet, weil die Mengen $\begin{eqnarray*} (-\infty,c) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem der Borel-Sigma-Algebra bilden. Sie sind kein Erzeugendensystem deines $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ - sie gehören nicht mal selbst dazu.

Du musst nun "einfach" für jedes $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} f^{-1}(A)\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ gilt, um diese deine "andere" Messbarkeit zu zeigen - streng nach Definition. Es reicht natürlich auch, dies für ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ zu tun - das wären z.B. alle einelementigen Mengen.

08.06.2015, 16:19

steviehawk

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Okay, perfekt. Dann habe ich jetzt meine Unklarheit beseitigen können. Danke HAL 9000

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