Teilmengen sind UVR des R^{3}

15.11.2013, 16:32

Theend9219

Teilmengen sind UVR des R^{3}

Hallo

Ich habe da mal eine Aufgabe:

Welche Teilmengen des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}$ sind UVR:

$\begin{eqnarray*} U_{1} = \{ \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix} : 3x +7y-8z = 0, x,y,z \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$
Und nun meine Lösung:
Dazu habe ich erst einmal $\begin{eqnarray*} 3x +7y-8z = 0 \end{eqnarray*}$ nach einer Variablen umgeformt. Und erhalte:
$\begin{eqnarray*} x = \frac{-7y+8z}{3} \end{eqnarray*}$
Also dachte ich mir, ich setze das mal ein:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x = \frac{-7y+8z}{3} \\ y\\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und prüfe nun auf die Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7y_{1}+8z_{1}}{3} \\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{-7y_{2}+8z_{2}}{3} \\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{-7}{3}y_{1}+\frac{8}{3}z_{1}-\frac{7}{3}y_{2}+\frac{8}{3}z_{2} \\ y_{1}+y_{2}\\ z_{1}+z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun definiere ich: $\begin{eqnarray*} \tilde{y} = y_{1}-y_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{z} = z_{1}+z_{2} \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7\tilde{y}+8\tilde{z}}{3} \\ y_{1}+y_{2} \\ \tilde{z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Und das ist nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7y+8z}{3} \\ y\\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: Ist mein Vorgehen richtig? Wäre ganz lieb wenn mal jemand draufschauen würde Augenzwinkern

Liebe Grüße Euch allen Augenzwinkern

15.11.2013, 17:54

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Hallo,

Ich kann leider nicht einschätzen, ob dein Vorgehen richtig ist, da ich den Aufschrieb in dieser Form nicht wirklich verstehe. (d.h. das Vorgehen ist sicher nicht richtig, aber vielleicht die Idee... da möchte ich mir jetzt nicht die Mühe machen, das zu entziffern - ich bin mir nicht einmal sicher zu welchem Schluss du kommen willst)

Wichtig in der Mathematik ist zuerst einmal immer ein sauberer Aufschrieb: was will ich zeigen? Wie will ich es zeigen? Was sind die Größen, die ich benutze? Resume: was habe ich gezeigt?

2 schnelle Ansätze, deine Frage zu beantworten: weißt du was der Kern einer linearen Abbildung ist? Dann gewinnst du die Aufgabe in einer Zeile.

Falls du das nicht weißt/dir damit unsicher bist: hier der gleiche Ansatz, aber ohne lineare Abbildungen zu verwenden: seien (x1, y1, z1) und (x2, y2, z2) aus U1. Das ist genau dann der Fall, wenn sie die angegebene Gleichung erfüllen. Betrachte (x1+x2, y1+y2, z1+z2) - sind genau dann in U1, wenn dies wieder die Gleichung erfüllt.

Dann musst du noch Multiplikation und 0 in U1 checken.

lg kai

15.11.2013, 18:03

Theend9219

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Hallo louis1991,
Vielen Dank für deine Antwort.
ich hätte eigendlich gedacht, dass ich es korrekt aufgeschrieben habe. Da das Vektorraumkritierium z.B die Abgeschlossenheit der Vektoraddition einschließt, hatte ich diese zuerst geprüft. Da diese jedoch nicht erfüllt ist, brauchte ich selbstverständlich nicht die restlichen Axiome prüfen. Deswegen habe ich beispielsweise die Skalare-Multiplikation gleich fallen gelassen. Der Begriff Kern ist mir bekannt, jedoch die Anwendung auf dieses Beispiel jetzt hier nicht verständlich.
Ich nehme an mit deinem Vorschlag meinst du sicherlich, dass ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 3x+7y-8z = 0 \end{eqnarray*}$ einsetze.

Demnach würde ich erhalten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies ergibt:

$\begin{eqnarray*} 3(x_{1}+x_{2} +7(y_{1}+y_{2})-8(z_{1}+z_{2}) = 0 \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße

15.11.2013, 18:38

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Ja, in der Tat ist die Menge unter Addition abgeschlossen.

Insbesondere ist sie der Kern der linearen Abbildung nach R, die durch

f(x,y,z)= 3x+7y-8z

gegeben ist.

15.11.2013, 18:44

Theend9219

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Danke für deine Antwort.

Okay. Aber wenn ich das wie ich im Ausgangstext geschrieben habe so rechne, dann bekomme ich keine Abgeschlossenheit? Wo ist denn mein Fehler? Liebe Grüße

15.11.2013, 18:56

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}

Zitat:

Original von Theend9219
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7y_{1}+8z_{1}}{3} \\ y_{1}\\ z_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \frac{-7y_{2}+8z_{2}}{3} \\ y_{2}\\ z_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{7}{3}y_{1}+\frac{8}{3}z_{1}-\frac{7}{3}y_{2}+\frac{8}{3}z_{2} \\ y_{1}+y_{2}\\ z_{1}+z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun definiere ich: $\begin{eqnarray*} \tilde{y} = y_{1}+y_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{z} = z_{1}+z_{2} \end{eqnarray*}$ und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7\tilde{y}+8\tilde{z}}{3} \\ \tilde{y} \\ \tilde{z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So wird da ein Schuh draus (du hast wohl einen Vorzeichenfehler gemacht).

Das so aufzuschreiben, ist aber halt eher 'schlechter Stil'. Größen zu definieren, die man nicht wirklich braucht, ist meist unnötiger Schlick. (zumindest bei so kurzen Rechnungen. Falls du hinterher mit y_1+y_2 noch was anstellst, dann macht es evtl. mehr Sinn, ein Schlange(Y) zu definieren, etc.)

15.11.2013, 19:16

Theend9219

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Ah das stimmt Dankeschön!
Jetzt sehe ich auch meinen Fehler:
Ich müsste erhalten:

$\begin{eqnarray*} -\frac{7}{3} (y_{1}+y_{2})+\frac{8}{3} (z_{1}+z_{2}) \end{eqnarray*}$

Und das kann ich wieder mit Tilden so schreiben, dass man sieht das das abgeschlossen ist..

Aber wie zeige ich die Skalare Multiplikation:
Gehe ich da so vor:

\lambda \in K
$\begin{eqnarray*} \lambda \cdot \begin{pmatrix} \frac{-7y_{1}+8z_{1}}{3} \\ y_{1} \\ z_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\lambda \cdot (-7y_{1}+8z_{1}}{3}) \\ \lambda \cdot y_{1} \\ \lambda \cdot z_{1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-7\lambda y_{1}+8\lambda z_{1}}{3} \\ \lambda y_{1} \\ \lambda z_{1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Nun kann ich definieren:

$\begin{eqnarray*} \lambda y_{1} = \tilde{y_{1}} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \lambda z_{1} = \tilde{z_{1}} \end{eqnarray*}$
Sodass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{-7 \cdot \lambda y_{1} +8 \cdot \lambda z_{1}}{3} \\ \lambda y_{1}\\ \lambda z_{1} \end{pmatrix} <br /> <br /> = \begin{pmatrix} \frac{-7\tilde{y_{1}}+8\tilde{z_{1}}}{3} \\ \tilde{y_{1}} \\ \tilde{z_{1}}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dies ist ja wieder wie die Ausgangsform und daher ist das erfüllt, oder? Liebe Grüße

15.11.2013, 19:21

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Ja, das kannst du so machen. Aber die beiden "Argumentationswege" oben kommen wie gesagt ohne diese komplizierte Schreibweise aus.

15.11.2013, 19:29

Theend9219

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Danke!
Ja das hattest du gesagt. Kannst du mir das mit dem Kern vielleicht noch einmal verdeutlichen?

Der Kern ist ja definiert als:

$\begin{eqnarray*} Kern(f) := \{ v \in V| f(v) = 0\} \end{eqnarray*}$

Soll das also heißen, dass ich meinen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einfach in meine Abbildung $\begin{eqnarray*} 3x+7y -8z = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen muss und einfach nur schauen muss das die 0 ergibt?

Liebe Grüße

15.11.2013, 19:50

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Mit dem Kern ist nicht viel zu tun. Du zeigst, dass die Abbildung, die durch 3x+7y-8z gegeben ist, linear ist. Dein Raum ist aber gerade als Kern dieser Abbildung definiert. Und jetzt solltet ihr gezeigt haben, dass Kerne von linearen Abbildungen (Unter-)Vektorräume sind.

16.11.2013, 10:56

Theend9219

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Warum weiß ich wenn ich einen Raum habe und eine Abbildung, das der Raum als Kern der Abbildung definiert ist?

Liebe Grüße

16.11.2013, 10:59

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Der Kern ist das Urbild der {0}. Und genau so ist deine Menge hier ja definiert.

16.11.2013, 11:04

Theend9219

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Ach stimmt. Alle Ebenen, Gerade,.. die durch den Ursprung gehen sind doch Untervektorräume. Und wenn der Kern das Urbild des Nullvektors ist, dann ist das ein Unterraum, oder?

Kann ich mir irgendwie anschaulich den Kern vorstellen?

Liebe Grüße

16.11.2013, 11:16

Louis1991

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RE: Teilmengen sind UVR des R^{3}
Ich würde nicht versuchen, mir das anschaulich vorzustellen. Die Begründung für kerf ist Unterraum ist einfach:
f(x)=0, f(y)=0 => f(r*x+ s*y)= r*f(x)+s*f(y)=0.

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