Differenzenoperator

15.11.2013, 21:29

Freedom Wizard

Differenzenoperator

Würde mich über jegliche Hilfe bei folgender Aufgabenstellung freuen:

Wenn $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D: V \to V \end{eqnarray*}$ der Differentialoperator ( $\begin{eqnarray*} Df = \frac{df}{dt}, \forall f \in V \end{eqnarray*}$ ). Dann sind $\begin{eqnarray*} g_c,_\lambda (t) = ce^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ die Eigenvektoren von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ zu den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Formuliere ein (formales) Analagon, wo der Differentialoperator durch den Differenzenoperator, definiert durch $\begin{eqnarray*} \Delta f(t) = f(t+1) - f(t), \forall t \end{eqnarray*}$ ersetzt wird. Entsprechend wird (formal) der zu Grunde liegende Vektorraum V geeignet ersetzt.

Ich habe mir intuitiv gedacht, dass man auf den Vektorraum der Polynome vom Grad n wechseln könnte, habe aber keine Eigenvektoren gefunden. Habe auch gelesen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ die invariante Funktion des Differenzenoperators ist, aber auch da bin ich nicht zum gewünschten Ergebnis gekommen.

16.11.2013, 10:49

Leopold

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Vielleicht helfen Beispiele beim Einstieg.

$\begin{eqnarray*} f_1(t) = 3^t \, , \ \ f_2(t) = 3^{\, t + \sin(2 \pi t)} \, , \ \ f_3(t) = \sin(\pi t) \, ; \ \ t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Überlege, daß $\begin{eqnarray*} \Delta f_1 = 2 f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta f_2 = 2 f_2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \Delta f_3 = -2 f_3 \end{eqnarray*}$ gelten. Somit sind $\begin{eqnarray*} f_1,f_2 \end{eqnarray*}$ Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda = -2 \end{eqnarray*}$ .

16.11.2013, 15:18

Freedom Wizard

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Das ist nachvollziehbar, aber $\begin{eqnarray*} f_3 (t) \end{eqnarray*}$ hat doch eine ganz andere Gestalt als $\begin{eqnarray*} f_1 (t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2 (t) \end{eqnarray*}$ . Kann man da auf einen allgemeinen Eigenvektor kommen?

16.11.2013, 20:30

Leopold

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Gilt $\begin{eqnarray*} \Delta f = \lambda \cdot f \end{eqnarray*}$ , so erfüllt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} f(t+1) = (\lambda+1) \cdot f(t) \ \ \mbox{für alle} \ t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Jetzt führe eine Fallunterscheidung durch: $\begin{eqnarray*} \lambda>-1, \, \lambda=-1, \, \lambda<-1 \end{eqnarray*}$ .

Im ersten Fall definiere die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} g(t) = (\lambda+1)^{-t} \cdot f(t) \end{eqnarray*}$

Im dritten Fall definiere die Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} g(t) = (-\lambda-1)^{-t} \cdot f(t) \end{eqnarray*}$

Welche Funktionalgleichung erfüllt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im jeweiligen Fall?
Und den zweiten Fall kannst du direkt mit der Funktionalgleichung für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ erledigen.

16.11.2013, 21:08

Che Netzer

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RE: Differenzenoperator

Zitat:

Original von Freedom Wizard
Entsprechend wird (formal) der zu Grunde liegende Vektorraum V geeignet ersetzt.

Das hätte ich ja so verstanden, dass man Folgen statt Funktionen betrachtet.

17.11.2013, 00:24

Freedom Wizard

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ in die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} f(t+1) = (\lambda+1) \cdot f(t) \ \ \mbox{für alle} \ t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ einsetzte, dann bekomme ich im ersten Fall $\begin{eqnarray*} g(t+1) = g(t) \end{eqnarray*}$ und im dritten Fall $\begin{eqnarray*} g(t+1) = -g(t) \end{eqnarray*}$ .

17.11.2013, 13:59

Leopold

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Und mehr läßt sich wohl nicht erreichen. Es gilt daher im ersten bzw. dritten Fall

$\begin{eqnarray*} f(t) = \left( \lambda + 1 \right)^t \cdot g(t) \ \ \text{bzw.} \ \ f(t) = \left( - \lambda - 1 \right)^t \cdot g(t) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im ersten Fall periodisch mit der Periode $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist. Wie könnte man $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ im dritten Fall beschreiben?

Falls übrigens Che Netzer recht hat, welche Ergebnisse folgen dann, wenn man von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ restringiert?

17.11.2013, 18:56

Freedom Wizard

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Die Funktion in Fall 3 trifft eben für $\begin{eqnarray*} \sin(\pi t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(\pi t) \end{eqnarray*}$ zu. Wenn ich Folgen betrachte, dann wäre Fall 1 eine konstante Folge und Fall 3 eine alternierende Folge.

Was ist nun aber der zugrunde liegende Vektorraum für $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

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