Homomorphismen und Gruppen

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patrick_mo Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismen und Gruppen
Hallo zusammen,

im Gerd/Fischer LinAlg Buch gibts folgendes Beispiel:

Die für jedes m aus N erklärte Abbildung
f: Z -> Z, mit x -> m*x

ist ein Homomorphismus f(Z) = mZ

für die Addition habe ich es nachgerechnet und es stimmt. Für die Multiplikation habe ich es nachgerechnet und es stimmt nicht:

nehmen wir an m=2 dann:
f(3 * 5) != f(3) * f(5) denn eingesetzt und verknüpft ist die linke Seite = 30 während die rechte Seite =60 ist...

Ich vermute nun, dass der Homomorphismus nur für die Addition gilt aber woran sehe ich das? In der Aufgabe wird das nie spezifiziert.

Vielen Dank für die Hilfe
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau ist die Funktion denn gemeint? ist ?
patrick_mo Auf diesen Beitrag antworten »

leider steht eben auch nichts weiters...

hier die Aufgabe aus dem Buch: (attached als file)
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismen und Gruppen
Zitat:
Original von patrick_mo


Ich vermute nun, dass der Homomorphismus nur für die Addition gilt aber woran sehe ich das? In der Aufgabe wird das nie spezifiziert.


Na ja, bilden denn die ganzen Zahlen mit der Multiplikation eine Gruppe?
patrick_mo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismen und Gruppen
Nein, die ganzen Zahlen bilden mit der Multiplikation keine Gruppe.... ich dachte bei solchen Fragen ist ein klares Ja oder Nein erwartet...
wie oben im Text ist die Antwort klar, dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist, was so aber nicht stimmt weil unter der Addition ist es ein Homomorphismus und unter Multiplikation nicht... oder?

muss man bei solchen Aufgaben immer auf beides prüfen oder ist es aus der Aufgabenstellung ersichtlich was zu prüfen ist?

danke
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homomorphismen und Gruppen
Du willst doch zeigen, dass deine Abbildung ein Homomorphismus auf der additiven Gruppe Z ist. In dieser Gruppe hast du nur die Addition, in dieser Gruppe gibt es gar keine Multiplikation. Folglich musst du auch bei deiner Abbildung nur danach schauen, ob sie mit der Addition verträglich ist. Mit irgendwelchen Multiplikationen haben wir hier doch gar nichts am Hut.

Immer dran denken, dass wir hier bei Gruppen sind. In Gruppen gibt es eine Verknüpfung, mehr nicht.

Genau so steht es auch doch in deiner Definition. Auch dort wird eine Verknüpfung (dort mit * bezeichnet) untersucht, nicht mehr und nicht weniger. Diese eine Verknüpfung ist bei diesem Beispiel die gewöhnliche Addition.

Streng genommen kann man natürlich hergehen und sagen, dass man bei Z auch eben dazuschreiben sollte, dass hier + gemeint ist. Das kann man sich aber insofern eigentlich sparen, als dass die Multiplikation nicht gemeint sein kann, weil Z bezüglich der Multiplikation gar keine Gruppe ist. Darum ist klar, dass man hier mit "+" zu arbeiten hat.

Edit: Pardon, DerJoker, ich hatte dich als offline gesehen.
 
 
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt das die ganzen Zahlen bzgl. der Multiplikation keine Gruppe bilden. Was ist denn Voraussetzung für einen Gruppenhomomorphismus ? Man benötigt Gruppen! Also sollte doch allein aus der Definition klar sein, was gemeint ist.
patrick_mo Auf diesen Beitrag antworten »

ok, es war für mich nicht so klar dass mit Z -> Z einfach nur die Addition gemeint ist. Aber wenn die Multiplikation gemeint ist, steht dann meist Z* oder so... alles klar Augenzwinkern ich hatte das Z* als Z\{0} interpretiert.

Aber danke euch für die Hilfe... wurde einiges klarer.
DerJoker Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht! Mit Z* ist für gewöhnlich die Einheitengruppe von Z gemeint. Diese hat nur +1 und -1 als Elemente.
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