Homogene Differentialgleichung

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Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene Differentialgleichung
Hi,

ich würde gerne die folgende homogene Differentialgleichung lösen. M.m.n. eignet sich hier am besten Separation (trennung der Variablen).



Würde es auch funktionieren hier den Exponentialansatz anzuwenden?.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

meiner Meinung stellt sich die Frage des Exponentialansatzes nicht, da die Differentialgleichung nicht linear ist.

Sie ist auch gar nicht notwendig, da bei geeigneter Substitution die Lösung leicht gefunden wird.

Was hast du bisher versucht ?

Grüße
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe versucht die DGL mit der Separation zu lösen.













Wäre dies korrekt?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Einstein1879
Ich habe versucht die DGL mit der Separation zu lösen.











Hier sind die Variablen noch nicht wirklich getrennt. Der Faktor v^2 muss noch auf die andere Seite.




Jetzt kann integriert werden:



Die Substitution war schon mal gut. Freude
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir erstmal.

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechte Seite stimmt.

Bei der linken Seite ist irgendetwas schief gelaufen.

Ich schreib mal die linke Seite etwas um.



Wenn man jetzt integriert, dann nimmt der Exponent um 1 zu.





Den Faktor b musst du noch ermitteln, der beim ableiten den Einfluss des Exponenten neutralisiert.

Des Weiteren habe ich unterschiedliche Konstanten für jede Seite genommen. Jedoch kann man jetzt auf beiden Seiten abziehen.



Da und noch unbestimmt sind, kann man dann statt auch einfach C schreiben.

Letztendlich muss die Ableitung von gleich sein.
 
 
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir erstmal.

b müsste dann ja -1 sein.





So ist es doch korrekt, oder?

Nun müsste ich doch diese Gleichung so auflösen, dass v im Zähler steht.

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Einstein1879




So ist es doch korrekt, oder?



Ja. Freude

Zitat:
Original von Einstein1879

Nun müsste ich doch diese Gleichung so auflösen, dass v im Zähler steht.



Hier würde ich einfach den Kehrwert beider Seiten nehmen:




Nun rücksubstituieren und x bestimmen.
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Rücksubstituiert würde dann ja da stehen.



Um nun zu erhalten muss die obige Funktion noch integriert werden, wie mache ich dies? Ich habe das mit der Substitution nicht drauf, jedoch die partielle Integration.

Anfangsbedingung:

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Einstein1879
Rücksubstituiert würde dann ja da stehen.





Zumindest dann, wenn man die Beziehung herstellt.



Das ist im Prinzip das Gleiche. Nur wird die Umformung dadurch deutlicher.



Zitat:
Original von Einstein1879

Um nun zu erhalten muss die obige Funktion noch integriert werden, wie mache ich dies? Ich habe das mit der Substitution nicht drauf, jedoch die partielle Integration.



Jetzt muss auch nicht mehr substituiert werden. Es gilt hier

Zitat:
Original von Einstein1879





Hier stellt sich mir die Frage:" In welcher Beziehung stehen x(t) und v(t) ?"

Ist vielleicht ?
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal die genaue Aufgabenstellung.

Auf einen fallenden Körper wirken zum Zeitpunkt t=0 zwei Kräfte, die Erdanziehungskraft sowie der Luftwiderstand.

Folgende homogene Differentialgleichung soll nun gelöst werden und anschließend die Geschwindigkeit und den Ort für t gegen unendlich angegeben werden. Dabei sei die Anfangsgeschwindigkeit .
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Wird denn etwas über und gesagt ?

Oder was weißt du darüber ?
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Entspricht der Ableitung des Weges nach der Zeit und ist somit die Geschwindigkeit.

und sind feste Konstanten

Gruß Planck1858
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist:



Man kann die Konstante auch addieren, da sie, wie schon erwähnt, noch nicht näher bestimmt ist.



Nun kann man für t=0 einsetzen und für v(t) gleich schreiben. Nun bestimmen.

Dann ist insgesamt
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber da steht ja jetzt noch C_3, wie bekomme ich das denn jetzt weg? Die muss ich doch die Anfangsbedingung einsetzen, oder?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Man hat ja die Gleichung stehen. Mit dieser Gleichung kann man berechnen.

Die entstehende Gleichung kann man dann noch nach umformen und so ist dann auch bestimmt. Und der der Ausdruck an sich ist verschwunden.
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich nun den Ausdruck für c_3=m/v_0 in die von dir zuletzt genannte Gleichung einsetze, dann erhalte ich:

v(t)=v_0+\frac{m}{\alpha \cdot t+\frac{m}{v_0}}

Soweit richtig?

Dabei handelt es sich jetzt um die Lösung der homogenen DGL und nicht um die allgemeine, da ja die Integrationskonstanten gelöst sind, ebenfalls richtig?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Einstein1879
Also wenn ich nun den Ausdruck für in die von dir zuletzt genannte Gleichung einsetze, dann erhalte ich:



Soweit richtig?


Ich habe mir überlegt, dass man nicht nochmal addieren muss. Setzt man t=0 ein, dann ist . Somit ist die Anfangsbedingung erfüllt.

Also

Ansonsten korrekt.

Zitat:
Original von Einstein1879
Dabei handelt es sich jetzt um die Lösung der homogenen DGL und nicht um die allgemeine, da ja die Integrationskonstanten gelöst sind, ebenfalls richtig?


Richtig. Wir haben bis jetzt eine spezielle Lösung der DGL.

Jetzt muss noch weiter integriert werden um s(t) zu erhalten. Dann kann man bei beiden Gleichungen t gegen Unendlich laufen lassen.
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Und gerade das Integrieren bereitet mir Probleme.

Vom Prinzip her ist es doch zu integrieren wie:





Ich muss doch da Substitution anwenden um v(t) zu integrieren, oder?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst z.B.

Dann ist bzw.

Dann ist
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde jetzt erstmal eben ein paar Aufgaben zur Substitution rechnen und danach werde ich mich hier an diese Substitution machen.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, wobei das Ergebnis von du ja eigentlich schon angegeben hast, nur eben mit der Variablen x. ist nur ein Faktor. Dieser bleibt erhalten.
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun bin ich m.M.n. besser aufgestellt, was die Substitution angeht. Ist ja garnicht mal so schwer, eigentlich einfacher als Partielle Integration.







Jetzt muss nur noch die Integrationskonstante bestimmt werden über die Anfangsbedingung. Da zum Zeitpunkt t=0 auch die zurückgelegte Strecke Null sein muss, gilt:





Setzt man nun diesen Ausdruck in das Weg-Zeit-Integral ein, so folgt:

Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie ist da leider was schiefgelaufen. Der letzte Ausdruck in der ersten Zeile stimmt ja:



Da ergibt sich

Alles was danach kommt kannst du durchlesen. Ich bin mir aber bezüglich der Einheiten nicht ganz sicher. Eigentlich müsste man es zu umformen. So ist das Argument in der LN-Funktion dimensionslos. m hat ja an sich schon die Einheit Meter. In der editierten Form ist bei t=0 auch s(t)=0, da ln(1)=0 ist. ist also 0, wenn die Bedingung s(0)=0 ist.

Die Umformung erfolgt im Prinzip in der gleichen Weise wie unten.
Auch hier ist die Ableitung von s(t) gleich v(t). Wenn man abgeleitet hat, muss man nur noch ein bisschen kürzen bzw. erweitern um auf v(t) zu kommen.
_________________________________________________________________________

Das Argument der LN-Funktion passt, bezüglich der Einheiten, nicht wirklich zu einem Weg. Hier kann aber Abhilfe geschaffen werden, in dem man einen Teil der Integrationskontante mit belegt. Somit ist jetzt

Oben eingesetzt:



Jetzt gilt die Rechenregel
Somit kann man die ersten beiden Summanden zusammenfassen, indem man die jeweiligen Argumente multipliziert.


Das Argument in der LN-Funktion hat jetzt eine Wegstreckeneinheit (Meter, Kilometer, ...).

Zur Kontrolle kannst du s(t) ableiten, und du wirst sehen, dass der Ausdruck für v(t) herauskommt. Also

Die Konstante kannst du jetzt dazu verwenden, um deine Anfangsbedingung zu verwenden.

Ist sie oder ?
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin doch echt ein Depp. Natürlich muss ich den Ausdruck für z in das Argument des ln einsetzen und nicht das Integral selbst. Sorry.



m steht für die Masse und hat die Einheit kg.

hat die Einheit In Worten gesprochen Kilogramm dividiert durch Meter.
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Bedingung, dass zum Zeitpunkt t=0 auch die zurückgelegte Strecke gleich Null ist folgt für C:



Somit folgt für das Weg-Zeit-Gesetz:



Wenn ich aber nun die Einheiten betrachte, so komme ich nicht auf die Meter für s(t).
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses Ergebnis müsste die Einheit Meter (m) haben.



Das Argument der LN-Funktion ist ja dimensionslos.

Ich habe jetzt die Einheiten in eckige Klammern gesetzt, auch wenn es nicht ganz den Regeln entspricht. m ohne eckige Klammer bedeutet Masse.

Hier ist s(t=0)=0. Somit kann man =0 setzen, sofern kein s_0 vorhanden ist. Ansonsten ist
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann doch jetzt noch die Logarithmen zusammenfassen zu:



Für geht , aber

Nun wird das ganze noch etwas schwieriger, ich soll nun die folgende inhomogene Gleichung lösen.



Anmerkung: g steht für die Erdbeschleunigung und hat die Einheit m/s²! Desweiteren kann v_0=0 angenommen werden.

Wie funktioniert dies?
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast das Argument natürlich richtig zusammengefasst. Auch deine Schlussfolgerungen teile ich.

Mach aber bitte für die neue Aufgabe ein neues Thema auf.
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte dir erstmal herzlich danken. Dank deiner Hilfe habe ich die Teilaufgabe gut lösen können. Ich studiere derzeit Physik Bachelor im 1. Semester und bin im Moment etwas überfordert, trotz sehr guter Noten in Physik und Mathe Lk. Aber das Interesse ist da ich und möchte es umbedingt schaffen, deshalb versuche ich so stark wie möglich reinzuklotzen. Da ich den "Integrierten Kurs" Physik höre, bereitet mir am Anfang doch die Theoretische Physik etwas Probleme, da so viel an Mathematik vorrausgesetzt und benötigt wird, dass ich kaum hinterherkomme die Vorlesungen sauber nachzuarbeiten, da ich immer erstmal die benötigte Mathematik lernen muss. Echt crazy im Moment. C'est la vie.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich richtig gerechnet habe, hast du bis jetzt nicht einmal einen Monat studiert. Du hast somit noch Zeit dich einzugewöhnen. Nicht nur was die Art der Vermittlung des Stoffes betrifft, sondern das studentische Leben an sich.
Ich verrate dir jetzt mal ein streng gehütetes Geheimnis. Du bist nicht der einzige, dem das so geht. Das Gegenteil ist der Fall.
Es hilft bestimmt sich noch mehr mit Kommilitonen auszutauschen. Hierbei bleibt einem nichts anderes übrig, als offensiv auf die Kommilitonen zuzugehen.

Ich bin aber optimistisch bezüglich deines Studiums. Du hast gute Voraussetzungen und du bist engagiert. Mehr ist eigentlich nicht nötig.

Die neue Aufgabe kannst du gerne nochmal als neues Thema posten.

Jedenfalls freut es mich, dass es bei dieser Aufgabe geklappt hat. smile
Einstein1879 Auf diesen Beitrag antworten »

Die neue Aufgabe findet sich hier.

Inhomogene Differentialgleichung

smile
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