Untervektorräume

18.11.2013, 11:26

Fakelove1

Untervektorräume

Hallo,
also die Aufgabe ist :
Ist die Menge ein Untervektorraum?

$\begin{eqnarray*} { (x,y) \in ( \mathbb Z_{2})^{2}:x= y^{2} } \end{eqnarray*}$

Wie ich das für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ beweise, ist mir klar.
Mich verwirrt der Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ .

Was ist anders als beim Beweis mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?

Danke für eure Hilfe.

18.11.2013, 12:40

Fakelove1

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RE: Untervektorräume
Was ist los? Hat keine ein Plan?

Also ich hab mir nochmal überlegt wie ich das lösen soll.

Also der Vektor hat ja zwei Elemente (x,y) und ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (x,y)\in \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$

Dann gibt es ja nur diese Möglcihkeiten:
(#) $\begin{eqnarray*} (\overline 0,\overline 0 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\overline 1 ,\overline 0 ) \end{eqnarray*}$
(#) $\begin{eqnarray*} (\overline 0 ,\overline 1 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\overline 1 ,\overline 1 ) \end{eqnarray*}$

Und da zum Beispiel bei den makierten Fällen $\begin{eqnarray*} (\overline 0 +\overline 0 ) = (\overline 0 +\overline 1 )^{2} \end{eqnarray*}$ gelten muss, kann ich mit einem Gegenbeispiel beweisen, dass es kein UVR ist:
Gegeben ist $\begin{eqnarray*} (\overline 0 ,\overline 0 ) \equiv (2,6) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\overline 0 ,\overline 1 ) \equiv (4,7) \end{eqnarray*}$
Dann folgt:
$\begin{eqnarray*} 2+4=6\equiv \overline 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (6+7)^{n} =13^{2}= 169 \equiv \overline 1 \end{eqnarray*}$
Damit ist die Menge keine UVR, da $\begin{eqnarray*} \overline 0 \end{eqnarray*}$ ungleich $\begin{eqnarray*} \overline 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Richtig?
Und hab ich auch alles richtig hingeschrieben?

18.11.2013, 12:44

Captain Kirk

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Die Menge ist ein Untervektorraum.

Was du in deinem Gegenbeispiel machst kann ich ein keiner Weise nachvollziehen.

Und warum rechnest du auf einmal mit 6 und 7?

18.11.2013, 12:54

Fakelove1

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Wie hast/würdest du das Beweisen, dass es ein UVR ist?

Mit dem Gegenbeispiel wollte ich ein Widerspruch zeigen.
ich habe mir zwei Vektoren so gewählt, dass sie am Ende ein Ungleichzeichen zeigen ...
6 sollte ein Beispiel sein für $\begin{eqnarray*} \overline 0 \end{eqnarray*}$ und 7 einer für $\begin{eqnarray*} \overline 1 \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 13:06

Captain Kirk

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Du gehst hier so vor wie immer beim Nachweis der Unterraumeigenschaft:
Bestimme die Menge (das ist hier ganz einfach, da man alle Fälle schnell durchgehen kann) und rechne dann nach, dass die Menge ein Unterraum ist.

6 ist kein Beispiel für $\begin{eqnarray*} \overline{0} \end{eqnarray*}$ .
6 ist ein Repräsentant der Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} \overline{0} \end{eqnarray*}$ ,
ein deutlich naheliegenderer wäre aber doch 0.

18.11.2013, 13:14

Fakelove1

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Danke für deine Hilfe!

Warum ist 6 kein Beispiel? 6 modulo 2 ist doch 0.

Und wie soll ich die Mengen ausrechnen?

Wieso ist den jetzt mein Beispiel falsch und bist du 100% sicher, dass das ein Untervektor ist?

18.11.2013, 13:23

Captain Kirk

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Ja ich bin mir 100% sicher dass die Menge ein Untervektorraum ist.
Was ein Untervektor ist weiß ich nicht, ich habe diesen Begriff noch nie gehört.

Dein "Beispiel" ist falsch weil es mit der Aufgabe nichts zu tun hat.
Ich weiß nach wie vor nicht was du da machst. (Wo kommt du z.B. ein + her?)

Zitat:

Warum ist 6 kein Beispiel? 6 modulo 2 ist doch 0.

Nochmal:
$\begin{eqnarray*} \overline{0} \end{eqnarray*}$ ist eine Äquivalenzklasse. Das kann man beispielsweise als Menge $\begin{eqnarray*} \{\ldots ,-2,0,2, \ldots\} \end{eqnarray*}$ auffassen.
6 ist ein Element dieser Menge, 6 ist ein Representant einer Äquivalenzklasse.

Die Bezeichnung "Beispiel" ergibt in diesem Kontext keinerlei Sinn.

18.11.2013, 13:27

Fakelove1

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ok.
Sorry das ich es nicht kapiere, aber ich weiß immernoch nicht wie ich die Mengen addieren soll

18.11.2013, 13:30

Captain Kirk

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Wie kommst du denn drauf, dass man hier die Mengen (welche auch immer du meinst)
addieren sollst?
$\begin{eqnarray*} ( \mathbb Z_{2})^{2} \end{eqnarray*}$ hat ganze 4 Elemente.
Von denen kannst du nachprüfen ob sie in der Menge liegen.

18.11.2013, 13:32

Fakelove1

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Bin bisschen überfordert gerade.
Welche 4 Elemente?

18.11.2013, 13:47

Captain Kirk

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Welche Elemente hat $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{2} \end{eqnarray*}$ ?
Was bedeutet für einen Körper K die Schreibweise K²

18.11.2013, 13:56

Fakelove1

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Zweite Dimension oder?
Meintest du dann die Elemente :
$\begin{eqnarray*} ( \overline 0 , \overline 0 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \overline 0 , \overline 1 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \overline 1 , \overline 0 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \overline 1 , \overline 1 ) \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 14:01

Captain Kirk

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Die 4 vektoren sind richtig.
Jetzt kannst du ja so wie vorgeschlagen weiterverfahren.

Zitat:

Zweite Dimension oder?

Ich ahne was du meinst, mehr aber nicht.
Dringende Bitte:
Beschäftige dich intensiv mit den Begriffen und lerne sie richtig zu verwenden.
Ein sehr wesentlicher Teil der Mathematik, insbesondere am Anfang des Studiums, ist es sich exakt und sauber auszudrücken.

18.11.2013, 14:07

Fakelove1

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Ja, danke.
Und wie soll ich weitermachen, kannst du mir ein Beispiel geben mit einen Element und sagen was das bringen soll?

18.11.2013, 14:10

Captain Kirk

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Ich habe bereits geschrieben wie man weitermachen kann.

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