Zeige: S ist ein Ring ..

18.11.2013, 11:44

Khrazarn

Zeige: S ist ein Ring ..

Hallo!

Sei R ein Ring und $\begin{eqnarray*} S = R^X = \{X \to R\} \end{eqnarray*}$ (X ist eine nichtleere Menge).

Definiert sind folgende Verknüpfungen:

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} (f*g)(x) = f(x) * g(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich soll nun zeigen:

1) S ist ein Ring
2) Sei R ein Körper. Ist S dann auch ein Körper?

zu 1)
Hier habe ein paar Fragen, u.a. ist ja zu zeigen:

- (S, +) ist eine abelsche Gruppe.
*d.h. es gilt auch das Assoziativgesetz:
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x) = f(x) + (g+h)(x) \end{eqnarray*}$ was zu zeigen war.
Muss ich hier noch etwas anführen o.ä.?

* d.h. es gilt auch das Kommutativgesetz:
$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x) \end{eqnarray*}$ .
Reicht das auch schon?!

- Für alle Elemente a,b aus S ist auch a+b in S
Wie zeige ich die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition?

zu 2)

Ein Ring ist ein Körper, wenn es auch bzgl. der Multiplikation (ohne Nullelement) ein Inverses gibt - korrekt?

S ist nun ja ein kommutativer Ring bzgl. der Multiplikation. Das Neutrale Element der Multiplikation ist die Einsabbildung.

Nun ist zu zeigen, ob S auch ein Körper ist.
Dazu einige Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} S:= R^X = \{X \to R\} \end{eqnarray*}$
Dann kann ein Element aus S ja nur ein Inverses bzgl. der Multiplikation besitzen, wenn X=R, d.h.: $\begin{eqnarray*} S = \{X \to X\} \end{eqnarray*}$

Ich behaupte: Wenn R ein Körper ist, ist S nicht zwangsläufig ein Körper. Wie zeige ich das?

18.11.2013, 22:57

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RE: Zeige: S ist ein Ring ..

Zitat:

Original von Khrazarn
- Für alle Elemente a,b aus S ist auch a+b in S
Wie zeige ich die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition?

a,b sind doch einfach Funktionen $\begin{eqnarray*} X \to R \end{eqnarray*}$ . Dass mit der angegebenen Verknüpfung auch a+b eine solche ist, liegt doch auf der Hand.

Zitat:

Original von Khrazarn
zu 2)
Ein Ring ist ein Körper, wenn es auch bzgl. der Multiplikation (ohne Nullelement) ein Inverses gibt - korrekt?

kommutativ sollte er schon auch noch sein, sonst ist es ein Schiefkörper

Zitat:

Original von Khrazarn
Dann kann ein Element aus S ja nur ein Inverses bzgl. der Multiplikation besitzen, wenn X=R, d.h.: $\begin{eqnarray*} S = \{X \to X\} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch. Die Frage ist letzlich, gibt es zu jeder von Null verschiedenen Funktion $\begin{eqnarray*} f:X \to R \end{eqnarray*}$ eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: X \to R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)*g(x)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$

19.11.2013, 08:28

Khrazarn

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Hm...

Also wenn X = {x}, also einelementig ist, aber
$\begin{eqnarray*} f(m) \not \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ (also m wird durch die Funktion f auf keines der beiden neutralen Elemente aus R abgebildet), dann muss es eine Zahl r geben, sodass:

$\begin{eqnarray*} r * f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ und das heißt:
Es gibt eine Funktion g mit $\begin{eqnarray*} g(x) = r \end{eqnarray*}$ .
Die Funktion g ist damit das Inverse zur Funktion f in S.

Wenn nun aber X mehr Elemente hat, dann kann ich beispielsweise setzen:

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = 1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \forall x \not = x_1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun das Inverse betrachte und berücksichtige, dass "Element * Inverses = Neutrales Element" gilt erhalte ich für das multiplikativ-neutrale Element 1:

1 = (f*g)(x) = f(x) * g(x) = 0 * g(x) = 0

Das kann nicht sein; daher ist S kein Körper, denn es gibt nicht zu jeder Funktion aus S ein Inverses.

Habe ich damit deine obenstehende Frage beweisen können oder muss ich das anders angehen?

Wie zeige ich dann, dass S ein Körper ist, wenn R aus X Elementen besteht und S kommutativ ist?
Hammer

19.11.2013, 19:48

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Diese Argumentation

Zitat:

Original von Khrazarn
$\begin{eqnarray*} f(x_1) = 1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \forall x \not = x_1 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich nun das Inverse betrachte und berücksichtige, dass "Element * Inverses = Neutrales Element" gilt erhalte ich für das multiplikativ-neutrale Element 1:

1 = (f*g)(x) = f(x) * g(x) = 0 * g(x) = 0

Das kann nicht sein; daher ist S kein Körper, denn es gibt nicht zu jeder Funktion aus S ein Inverses.

kannst du doch immer verwenden, wenn X wenigstens zwei Elemente hat. Der Fall einer einelementigen Menge X ist sehr übersichtlich

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