Bestimmen Sie die adjungierte, den kern,bild von f und ihrere adjungierten.

18.11.2013, 15:03

needhelpalgebra2

Bestimmen Sie die adjungierte, den kern,bild von f und ihrere adjungierten.

Meine Frage:
Betrachten Sie für ein n in N den R Vektorrraum der Polynome und das Skalarprodukt definiert $\begin{eqnarray*} <p,q>:= \int_a^1 \! p(t)q(t) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$

Weiterhin sei der lineare Endomorphosmus f in (R[t],R[t]) definiert durch:
$\begin{eqnarray*} f(p)=f(\sum\limits_{i=0}^n a_it^i) := \sum\limits_{i=1}^n ia_it^{i-1} \end{eqnarray*}$ .

Sei n=4. Berechnen Sie
Kern (f), Bild (f), Kern(f^{ad}), Bild(f^{ad}.
Sei n=2. Berechne f^{ad}.

Meine Ideen:
Im Prinzip definiert die Summenformel Polynome und ihre Ableitung.
für n=4 kann man sich das Polynom simpel aufschreiben.
Der Kern(f):= (t in R[t] / f(t)=0) (Denk ich mal)
Bild f(M) :={ f(t) \ t in M\}

Das Integral brauche ich für die Äquivalenzen
Kern(f^ad)=Bild f orthogonal,
Kern (f) = Bild (f^ad) orthogonal.

Kann mir jemand Helfen. z.B. sehe ich nicht wie ich den Kern bestimmen soll. Ich kann die Abbildung ja nicht als Matrix darstellen und dann einfach lösen eines homogenen LGS.

Auf die Adjungierte soll ich durch ein Korollar 13.5. kommen (denk ich mal) <f(v),w>=<v,f^{ad}(w)> und <v, f(w)>= <f ^{ad}(v),w> (Seite 174)

Grdl. ist das Buch Buch http://carlossicoli.free.fr/L/Liesen_J.,_Mehrmann_V.-Lineare_Algebra__Ein_Lehrbuch_uber_die_Theorie_mit_Blick_auf_die_Praxis_-Vieweg+Teubner_Verlag(2012).pdf

18.11.2013, 15:33

Captain Kirk

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Hallo,

den Kern kann man direkt über die Def. bestimmen.
Wie einer meiner Prof. immer sagte: Schreiben wir's hin, dann stehts da.

Kern(f):= (t in R[t] / f(t)=0)
ist übrigens richtig gemeint aber falsch hingeschrieben. Hier taucht t ein zwei sich überschneidenden Rollen auf, als Variable und als Polynom (damit quasi in sich.)

Auch das Bild lässt sich elementar über die Def. bestimmen. Ein Verdacht was das Bild sein könnte?

Bzgl. der adjungierten: Es genügt (warum?) sich für v,w auf die Elemente einer Basis zu beschränken.

18.11.2013, 16:19

needhelpalgebra2

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$\begin{eqnarray*} f(a_ot^0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4)=a_1t^0+2a_2t^1+3a_3t^2+4a_4t^3 \end{eqnarray*}$

Der Kern ist, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} a_1t^0+2a_2t^1+3a_3t^2+4a_4t^3=0t^3+0t^2+0t+0 \end{eqnarray*}$

Dies geschicht nur, wenn die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1 bis a_4 \end{eqnarray*}$ 0 sind. Da wiederum Jedes von Null verschiedene Element wird auf was andere abgebildet.
Der Kern ist also 0?

Und das Bild ist die Ableitung.

Warum man sich für die adjungierte auf zwei Elemente der Basis beschränken kann weiß ich auf die schnelle nicht. Eigentlich ist doch die Adjungierte immer die Transponierte.

18.11.2013, 16:32

Captain Kirk

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Zitat:

Wieso betrachtest du auf einmal ein Polynom vom Grad kleiner-gleich 4?
Und was soll "der Kern ist, wenn gilt" bedeuten?

Zitat:

Dies geschicht nur, wenn die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1 bis a_4 \end{eqnarray*}$ 0

Das ist die richtige Folgerung aus dem oberen.

Zitat:

Da wiederum Jedes von Null verschiedene Element wird auf was andere abgebildet.

Keine Ahnung was das besagen soll.

Zitat:

Der Kern ist also 0?

Nein. Und dir sind garantiert Gegenbeispiele zu dieser Behauptung bekannt.

Zitat:

Und das Bild ist die Ableitung.

Wie kann eine Abbildung ihre eigene Bildmenge sein?

Zitat:

auf zwei Elemente der Basis beschränken

Das habe ich nirgends geschrieben.

$\begin{eqnarray*} Eigentlich ist doch die Adjungierte immer die Transponierte. \end{eqnarray*}$
Wir haben hier keine Matrizen.

18.11.2013, 17:00

needhelpalgebra2

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Für n=4 eingesetzt ergibt es f(Polynom 4.Grades )= Polynom 3. Grades

Also der Kern ist nicht 0, sondern einfach das was ich dort oben hingeschrieben habe. Und näher kann man einen Kern in dem Fall nicht bestimmen?

Der Satz mit dem Null verschiedene Element ist schwachsinn, ja.

,,Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f."
Sprich f(Polynom 4. Grades).
Und ,,näher bestimmen" kann ich es nicht?

Zur adjungierten, da hast Du recht, dass es nur für Matrizen gilt. Ich dachte evtl. kann man dort einen Zsgh. ziehen.
Es genügt sich auf die Elemente einer Basis zu beschränken, weil diese einen Vektorraum erzeugen, in unserem Fall also dem Vektorraum der Polynome.

18.11.2013, 17:13

Captain Kirk

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Du kannst sowohl Kern als auch Bild dieser Abbildung explizit als Unterraum des Vektorraums angeben.

Und nochmal: Wieso setzt du einfach n=4?
Laut deiner ursprünglichen Angabe sollst du den Vektorraum aller Polynome betrachten. Dann muüssen auch Polynome von beliebigem Grad betrachtet werden.
Oder wird der Vektorraum der Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 4 \end{eqnarray*}$ betrachtet?

Nochmal:
Schreib die Def. des Kerns für diesen Fall sauber hin.
Deine Argumentationsidee dafür war ja gar nicht so falsch sondern nur nicht richtig zu Ende gebracht.
Und für das Bild:
Stelle eine Vermutung für die Bildmenge auf. Damit kann man es sehr schnell beweisen.

Und zu den adjungierten werd ich erst wieder was sagen wenn der Rest erledigt ist. Das sind sonst hier zu viele Baustellen auf einmal

18.11.2013, 17:38

needhelpalgebra2

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Ich betrachte n=4 wg. Aufgabenstellung. Berechnene Sie für n=4 den Kern,.... .
Ich hab die Aufgabe nochmal als jpeg hochgeladen.

Ich stelle gleich die Vermutung auf und schreibe den Kern sauber hin.

18.11.2013, 17:53

Captain Kirk

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Die ist eines anscheinend nicht klar:
Das ist eine komplett andere Aufgabe als die, die du im Eingangspost genannt hast.

Der Vektorraum aller reellen polynome $\begin{eqnarray*} \mathbb R [t] \end{eqnarray*}$ ist ein unendlich-dimensionaler reeller Vektorraum.
Die Vektorraum die tätsachlich betrachtet werden sollen sind endlich- dimensional, was die Sache in einigen Dingen einfacher macht.

Die f nun eine lineare Abb. zwischen endlich.-dimensionalen Vektorräumen ist, kann f durch eine Matrix dargestellt werden (wobei es nicht unbedingt der günstigste Weg ist). Isnbesondere gilt der Dimensionsatz.
$\begin{eqnarray*} f :\mathbb R[t] \to \mathbb R [t], p \mapsto p' \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, das f hier ist es nicht.
Nicht zuletzt ist die b) für den Fall n=2 deutlich angenehmer hinschreiben als für den unendlichen Fall.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq n} [t] \end{eqnarray*}$ nennt man übrigens Vektorraum der reellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$

18.11.2013, 18:48

needhelpalgebra2

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/ bedeutet Eigenschaft folgt

$\begin{eqnarray*} Kern (f)= { f (\sum\limits_{i=0}^4 a_it^i) \mathbb R _{\leq 4}/ \sum\limits_{i=1}^4 ia_it^{i-1}= 0}<br /> <br /> { f(a_0t^0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3+a_4t^4)/ a_1t^0+2a_2t^1+3a_3t^2+4a_4t^3=0}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} Kern(f) = ... \end{eqnarray*}$
Hier muss ich halt eine Nebenrechnung durchführen bzw. sehe ich, dass die Eigenschaft 0 wird genau dann wenn die Koeffizienten 0 sind.
Aber wie groß ist denn dann mein Kern?
Mit Dimensionssatz folgt $\begin{eqnarray*} dim(Bild(f))={dim(v)-dim(Kern(f))}={ dim(4)-dim(Kern(f))} \end{eqnarray*}$

Für das adjungierte Bild und Kern gilt folgendes:
$\begin{eqnarray*} Bild (f)^\perp = Kern(f^{ad}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Kern (f) = Bild (f^{ad}) \end{eqnarray*}$
Hierfür muss ich mit Hilfe vom Skalarprodukt das Bild f orthogonalisieren. Aber sicherlich nicht über Gram-Schmidt? Wie orthogonalisiere ich das Bild.

Da V ein endlichdim euklidischer VR ist mit Skalarprodukt, so gibt es zu jedem f(p)eine bestimmte adjungierte Abbildung f_ad.

18.11.2013, 19:03

Captain Kirk

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Du musst dir definitv angewöhnen sauberer und konzentrierter zu arbeiten.
Der ganze Thread, und der letzte Post im Besonderen, ist voll von Aussagen, die "knapp an der Wahrheit vorbei" sind.

Zitat:

Hier muss ich halt eine Nebenrechnung durchführen bzw. sehe ich, dass die Eigenschaft 0 wird genau dann wenn die Koeffizienten 0 sind.

Richtig, nebenrechnung durchführen. Was du schon den ganzen thread meinst zu sehen ist falsch.
Der kern ist hier folgendes: $\begin{eqnarray*} \{p \in \mathbb R_{\leq 4}[t] |a_0=0 \} \end{eqnarray*}$ mit, wie üblich $\begin{eqnarray*} a_4t^4+a_3t^3+a_2t^2+a_1t+a_0=p \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} dim(Bild(f))={dim(v)-dim(Kern(f))}={ dim(4)-dim(Kern(f))} \end{eqnarray*}$

dim(4) ergibt keinen Sinn. 4 ist kein Vektorraum.
Übrigens ist $\begin{eqnarray*} dim (\mathbb R_{\leq n}[t])=n+1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber sicherlich nicht über Gram-Schmidt?

Genau, Gram-Schmidt hat hier gar nichts zu suchen. Deshalb frage ich mich wieso du ihn überhaupt erwähnst.
im übrigen schrieb ich vor 2 Posts:

Zitat:

Und zu den adjungierten werd ich erst wieder was sagen wenn der Rest erledigt ist. Das sind sonst hier zu viele Baustellen auf einmal

18.11.2013, 19:16

Captain Kirk

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Korrektur:
Der Kern ist natürlich das Komplement von dem was ich hingeschrieben hab:
Es ist:
$\begin{eqnarray*} Kern(f)=\{ a_0|a_0\in K \} \end{eqnarray*}$ , d.h. die Menge aller konstanten Polynome.

Ich sollte mir meine eigenen Tipps zu Herzen nehmen.

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