Bruch mit Variablen kürzen

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jogihans Auf diesen Beitrag antworten »
Bruch mit Variablen kürzen
Hallo liebes matheboard,

ich habe die erste Ableitung einer Funktion gebildet und sie lautet

Ich würde sie jetzt gerne noch vereinfachen um die zweite Ableitung einfacher zu bilden. Ist das möglich? Vielleicht könnt ihr mir ja einen Denkanstoß dazu geben.

Vielen Dank,
jogihans
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruch mit Variablen kürzen
Naja, man kann eine gemeinsame Nullstelle in Zähler und Nenner finden und daher kürzen. Dazu musst du aber entweder faktorisieren oder eine Polynomdivision durchführen.

Ich frage mich auch, wie die Ausgangsfunktion ausgesehen hat.
Hast du eventuell Klammern aufgelöst, um auf dieses Ergebnis zu kommen?

smile
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest z.B. im Zähler und im Nenner 1 ausklammern und dann kürzen...

Weil die Aufgabe aber von einer Ableitung mit Quotientenregel stammt, ein Tipp: nicht gleich ausmultiplizieren, dann sieht man Kürzungsmöglichkeiten viel leichter. Hast du die Aufzeichnungen noch?

Dann lassen sich unnötige Polynomdivisionenen nämlich vermeiden

lg
kgV
Wink

PS. Dieser Tipp gilt immer: bei jeder Ableitung mit Quotientenregel lassen sich Faktoren rauskürzen


edit: heute ist es immer eine Minute Augenzwinkern Dein
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@kgV

Du darfst den Thread gerne übernehmen, wenn du immer der Zweite bist, sollst du jetzt mal der Erste sein. Mit Zunge
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ein Engel , sulo, aber sooo schlimm ist es bei Weitem nicht - ich sollte mir nur angewöhnen, mal auf die Vorschau zu drücken, dann weiß ich, wann ich mir meine Tipperei sparen kann Big Laugh
Ich bin mir sicher, dass der Fragesteller bei dir in besten Händen ist, mein Edit war lediglich als Feststellung gemeint, nicht als Ausbruch der Frustration (die es bei mir hier im Board nur zu enorm seltenen Anlässen gibt). Es geht hier ja nicht darum, als Helfer um jeden Preis Threads zu bekommen, sondern darum, dass den Fragestellern effizient geholfen wird smile
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schon einmal für die prompten Antworten. Die Ausgangsfunktion war diese hier

Mit der Quotientenregel erhalte ich
Wie gehe ich da jetzt cleverer vor?
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, harte Nuss.

Du kannst den Bruch auseinanderziehen, dann kannst du im ersten Bruch sehr leicht etwas kürzen.

Beim zweiten Bruch bleibt wieder nur das Faktorisieren vor dem Kürzen.

So richtig prickelnd ist das alles nicht. Vielleicht sieht kgV mehr?

smile
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde schon die Ausgangsfunktion etwas zurechtstutzen, ausklammern im Zähler und Vieta im Nenner reduzieren die Gleichung auf ein recht handliches Maß Big Laugh

Ansonsten kommt man wirklich nicht um das Faktorisieren herum...
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das Auseinanderziehen der Brüche ist auch keine wirkliche Erleichterung, das habe ich jetzt mal durchgerechnet.

Fazit wie kgV: Ausklammern, kürzen.
Und beim Ausklammern hilft die Polynomdivision.

smile
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Also oben ausklammern. Vom Vita habe ich aber noch nie etwas gehört. Polynomdivision kann ich, aber wie ist sie konkret in diesem Fall anzuwenden? Entschuldigt mein Unwissenheit verwirrt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Vieta darf kgV dir erklären. Augenzwinkern

Mit der Polynomdivision würde ich es so machen: Betrachte Zähler und Nenner jeweils als Funktion und suche Nullstellen.
Eine ist dabei sehr leicht schon durch Anschauen zu entdecken.
Dann teilst du die "Funktionen" durch diese Nullstelle. Nun kennst du den anderen Faktor, wenn du (x-Nullstelle) ausklammerst.

smile
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz von Vieta erlaubt es, quadratische Polynome als Linearfaktoren zu schreiben. Im Grunde besagt er, dass das letzte Glied eines quadratischen Polynoms, hier , hier die -2, das Produkt der beiden Werte ist, und das mittlere Glied die negative Summe der beiden, wenn das Polynom genau diese Nullstellen hat. Dann lässt sich das Polynom als schreiben.

Hier ist also und zu lösen (Es geht aber auch über die Lösungsformel quadratischer Gleichungen...Augenzwinkern )

Danach einfach , wobei die Nullstelle verkörpert, für alle Nullstellen aneinanderhängen


Ich bin aber nach wie vor der Meinung, dass Kürzen der Ausgangsfunktion und erneutes Ableiten mit anschließendem Kürzen die schnellste Methode ist
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Also keinen Satz von Vieta nutzen, okay. Habe nur keine Ahnung wo und wie ich kürzen kann. Wenn es euch jetzt zu langwierig ist, hört einfach auf zu helfen Augenzwinkern Dann gehe ich den harten Weg und mache mit der Funktion oben einfach weiter...

Danke!
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

So leicht lassen wir uns nicht unterkriegen Augenzwinkern
Welchen Weg willst du gehen? sulos Weg mit der Polynomdivision oder den Weg mit der Faktorisierung über die Lösungsformel für die quadratische Gleichung?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »





Springt bei beiden Funktionen nicht eine besondere Nullstelle ins Auge? Augenzwinkern

Durch sie musst du teilen, ich denke, du weißt, wie man das macht.

Leider kann ich nicht mehr lange im Board bleiben.
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Den Weg mit der Polynomdivision, da mir das noch bekannter ist...
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Oben x=0 und unten x=-4...
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Unten hast du dich mit x=4 etwas vertan...Augenzwinkern Aber beide haben eine viel einfachere Nullstelle gemeinsam... Die, die man intuitiv als erstes versucht
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mensch klar x=1
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Jep Freude

Jetzt Zähler- und Nennerfunktion getrennt durch diese Nullstelle (also ) teilen, dann bekommst du deine Gleichung in die Form und kannst kürzen
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Also jeweils Zähler und Nenner der Ableitung durch x-1?
Super, damit habt ihr mir ein gehöriges Stück weitergeholfen!
Tolles Forum!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

@kgV
Danke, dass du übernimmst. Mit Zunge

Viel Spaß noch euch beiden. Wink
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@sulo: danke, dass ich übernehmen darf smile

@jogihans: Das ist der erste Schritt. Danach wirst du sehen, dass die Funktionen immer noch (Augenzwinkern ) eine gemeinsame Nullstelle haben. Du "darfst" also danach noch eine weitere Polynomdivision durchführen
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja herrlich. Werde mich da mal ran machen, bin aber erst einmal raus hier. Vielen Dank schon mal!
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Geht klar, bis später/morgen/irgendwann smile
Viel Erfolg
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kgV
und kannst kürzen


Moin zusammen, ging es zwischenzeitlich nicht schon darum, schon bei der Ausgangsfunktion den Linearfaktor zu kürzen?! Damit erhält man eine viel einfachere Ableitung, als wenn man das erst bei der Ableitung macht.
Alternativ kürzt man bei f' gleich mit .
Der Weg ist aber allemal viel aufwendiger.

LG
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte den Vorschlag zwischenzeitlich angebracht, ja, aber der Fragesteller hat sich entschieden, diesen Weg zu gehen, und das ist für mich in Ordnung smile

Zitat:
Alternativ kürzt man bei f' gleich mit .

Wenn man's denn sieht - aber dazu muss man die Funktion auch erst einmal geteilt haben. Oder gibt es einen Weg, an einer Polynomfunktion abzulesen, ob eine doppelte Nullstelle vorliegt? verwirrt
thk Auf diesen Beitrag antworten »

Vllt hättest du den FS überreden sollen Augenzwinkern Es kommt ihm ja auf eine möglichst schlanke 2. Ableitung an.

Wenn man einen Term hat der Bauart mit a'=1 (wie vorliegend a=x-1), dann gilt

Umgekehrt lässt sich bei Polyfunktionen eine Kürzungsmöglichkeit bei f unterstellen, wenn f' kürzbar ist und der Nenner von f keine Potenz ist. Da sollte man also stutzig werden...

Der Polyfunktion sieht man einen mehrfachen Linearfaktor nicht unbedingt an.
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Das Kürzen der Ausgangsfunktion ist meist sinnvoll und vereinfacht weitere Berechnungen.
Aber: Bitte unbedingt die Definitionsmenge der Ausgangsfunktion beibehalten, diese bleibt auch weiterhin gültig!

Zitat:
Original von kgV
PS. Dieser Tipp gilt immer: bei jeder Ableitung mit Quotientenregel lassen sich Faktoren rauskürzen

Nein. Bei einer Funktion vom Nennergrade eins gilt dies z.B. nicht.
Erst ab der zweiten Ableitung kann man bei gebrochenrationalen Funktionen immer kürzen.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

@opi: Da du jetzt schon der Zweite bist, der mich darauf anspricht: ich hatte das vorgeschlagen (vgl. hier), der Fragesteller zog es vor, einen anderen Weg zu gehen. Auf dem werde ich ihn begleiten, auch wenn ich besagten anderen Weg gegangen wäre. Ihr könnt sicher sein, dass ich die Alternative am Ende vorführen werde.

Das mit dem Nennergrad eins stimmt natürlich, eine Ungenauigkeit meinerseits smile
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Vorschlag hatte ich schon zur Kenntnis genommen. Augenzwinkern (Bevor ich etwas in einen Thread schreibe, lese ich ihn von vorn bis hinten durch.)
Nachdem aber nun auch thk das Kürzen der Ausgangsfunktion ansprach, war es Zeit, endlich einmal auf die Definitionsmenge hinzuweisen. Dieses ungeliebte Kind wird leider oft vergessen.
jogihans Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch, da habe ich aber noch etwas angestossen...

Also, ich habe letztendlich bei der Ausgangsfunktion im Zähler und Nenner faktorisiert und dann die x-1 rausgekuerzt.

Danke für eure Hilfe,
jogihans
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Freut uns alle, dass es letztlich geklappt hat (und dass es der "schöne" Weg warAugenzwinkern )
Und wegen der Diskussion: mach dir keinen Kopf smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich auch im Thread geholfen habe, fühle ich mich natürlich genauso angesprochen.

Ich hatte zwar nach der Ausgangsfunktion gefragt, aber mit dem Hintergedanken, dass da Klammern aufgelöst worden waren.
Da dies nicht der Fall war, habe ich mich nicht mehr weiter um f(x) gekümmert - wie man sieht, hätte man die Ableitung jedoch ein wenig einfacher haben können, wenn man schon bei f(x) gekürzt hätte.

Vielleicht ist das auch ein Grund, warum zwei Helfer nicht in einem Thread nebeneinander aktiv sein sollten: Es besteht die Gefahr, dass man dem Thread unbewusst nicht die volle Aufmerksamkeit schenkt, weil man weiß, dass da ein weiterer Helfer am Ball ist.

smile
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