Äquivalenzrelation auf |R² zeigen |
| 19.11.2013, 12:45 | majlie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Hallo! Ich habe ein kleines mathematisches Problem und zwar komme ich bei folgender Aufgabe überhaupt nicht weiter: Wir betrachten auf |R² die Relation (x1,x2) ~ (y1,y2) :<=> "es gibt ein" Element r aus |R\{0} mit (y1,y2)=(rx1,rx2). Aufgaben: a)Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist. b)Geben Sie hierfür ein Repräsentantensystem an. Ich weiß leider gar nicht, wie ich an so eine Aufgabe rangehen soll. Meine Ideen: Leider haben wir in der Vorlesung nur die Bedingungen einer Ä-Relation besprochen, also, dass die Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv sein muss (Bsp. a~b auf einer Menge M). |
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| 19.11.2013, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Na, dann fang doch mal an. Was ist für die Reflexivität zu zeigen? |
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| 19.11.2013, 13:06 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Ich denke, man muss zeigen, dass (x1,x2)~(x1,x2) Aber ich weiß nicht wie und was es mit dem Teil nach :<=> auf sich hat. |
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| 19.11.2013, 13:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Der Teil nach dem ":<=>" legt die Definition fest, wonach 2 Elemente (x1,x2) und (y1,y2) äquivalent sind. Du mußt jetzt also prüfen, ob die Definition für (x1,x2)~(x1,x2) erfüllt wird. |
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| 19.11.2013, 13:22 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Prüfe ich das dadurch, dass (x1,x2)=(x1,x2) gilt? Ich hatte das so leider noch nicht und steh wohl ein bisschen auf dem Schlauch. |
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| 19.11.2013, 13:25 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Nun ja, was steht denn in der Definition? Du brauchst ein reelles r ungleich Null, so daß (x1,x2) = (rx1,rx2) ist. Wäre es möglich, ein derartiges r zu finden? |
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| 19.11.2013, 13:30 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Ja, das müsste doch einfach r=1 sein. |
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| 19.11.2013, 13:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Richtig. Also dann auf zur Symmetrie. 
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| 19.11.2013, 13:54 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Für die Symmetrie muss gelten, dass (x1,x2)~(y1,y2)=>(y1,y2)~(x1,x2) Vielleicht eine blöde Idee, aber kann man nicht dadurch, dass (y1,y2)=(rx1,rx2) gilt, und wir schon gezeigt haben, dass für r=1 : (x1,x2)=(rx1,rx2) ist, irgendwie die Symmetrie beweisen oder geht das in die ganz falsche Richtung? 
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| 19.11.2013, 14:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen
Also das hilft uns nicht. Gesucht ist doch ein r', so daß (x1,x2)=(r' * y1, r' * y2) ist. |
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| 19.11.2013, 14:18 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Achso, für die Symmetrie müssen wir die Definition quasi "umdrehen", so dass (x1,x2)=(r'y1,r'y2) gilt? Hmm, aber wie finde ich dieses r'?
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| 19.11.2013, 14:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Nun ja, du darfst ja ausnutzen, daß (x1,x2)~(y1,y2 gilt. |
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| 19.11.2013, 14:24 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Also da (x1,x2)~(y1,y2) gilt, kann ich statt (x1,x2)=(r'y1,r'y2) auch (y1,y2)=(r'y1,r'y2) schreiben? Und das gilt ja wieder für r'=1, also wäre die Relation für r'=1 symmetrisch? Oder vertue ich mich da? |
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| 19.11.2013, 14:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen
Wieso solltest du das tun können? Da müßte ja (y1,y2) = (x1,x2) gelten. Davon ist aber nirgendwo die Rede. Welche Gleichung gilt denn aufgrund von (x1,x2)~(y1,y2) ? |
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| 19.11.2013, 14:51 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Ach klar, kleiner Denkfehler. Es gilt (x1,x2)=(rx1,rx2) für r=1 und die Definition sagt ja: (y1,y2)=(rx1,rx2) Ich weiß nur nicht, wie mir das weiter hilft. |
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| 19.11.2013, 14:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Wie schon gesagt mußt du ein r' finden, so daß die Gleichung (x1,x2) = (r' * y1, r' * y2) erfüllt wird. |
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| 19.11.2013, 15:22 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Ich vermute zwar stark, dass ich falsch liegem aber ein Versuch ist es wert. (x1,x2) = (r' y1, r' y2) (x1,x2) = r' (y1,y2) (x1,x2) = r' (rx1,rx2) (da r=1) (x1,x2) = r' (x1,x2) 1=r' |
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| 19.11.2013, 15:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen
Wieso sollte r=1 sein? Wo steht das geschrieben? Ziehe doch das r aus der Klammer, dann bist du fast da. |
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| 19.11.2013, 15:43 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen also nochmal: (x1,x2) = r'*r(x1,x2) 1= r'*r 1/r = r' |
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| 19.11.2013, 15:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Richtig. 
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| 19.11.2013, 16:20 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Wenn ich nun zur Transitivität komme, muss ja gelten: (x1,x2)~(y1,y2) ^ (y1,y2)~(z1,z2) => (x1,x2)~(z1,z2) mein Ansatz: (y1,y2)=(rx1,rx2) (z1,z2)=(ry1,ry2) (y1,y2)*(z1,z2)=(rx1,rx2)*(ry1,ry2) (y1,y2)*(z1,z2)=r(x1,x2)*r(y1,y2) (z1,z2)=r²(x1,x2) |
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| 20.11.2013, 09:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen
Das r in der 1. Gleichung muß nicht identisch mit dem r in der 2. Gleichung sein. Du solltest also diese Variablen unterschiedlich bezeichnen.
Was soll denn hier die Multiplikation (y1,y2)*(z1,z2) sein, die dann in der letzten Zeile wie von Zauberhand verschwindet?
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| 20.11.2013, 12:38 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen (y1,y2)=(rx1,rx2) ^ (z1,z2)=(r'y1,r'y2) (z1,z2)=r'(rx1,rx2) (z1,z2)=r'*r(x1,x2) Ich weiß leider nicht genau, was ich hier eigentlich tun muss. Habe versucht aus dem Internet schlau zu werden, aber ich fürchte, dass hat nicht geklappt. |
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| 20.11.2013, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen
Das hast du doch selber schon gesagt. Du mußt zeigen, daß gilt: (x1,x2)~(y1,y2) ^ (y1,y2)~(z1,z2) => (x1,x2)~(z1,z2) Anders gesagt: du mußt ein r'' finden, so daß (z1,z2) = r'' * (x1,x2) ist. Mit deiner Rechnung, die du bislang gemacht hast, sollte das nun kein Problem sein. |
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| 20.11.2013, 13:11 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen (z1,z2) = r'' * (x1,x2) (r'y1,r'y2)=r'' * (x1,x2) r'(rx1,rx2)=r'' * (x1,x2) r'*r(x1,x2)=r'' * (x1,x2) r'*r=r"
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| 20.11.2013, 13:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Richtig. Wozu das Haupt kratzen? Mir scheint, so richtig verstanden hast du das alles noch nicht. |
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| 20.11.2013, 13:35 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Äquivalenzrelation auf |R² zeigen Naja, so richtig einleuchten will mir das alles noch nicht. Aber nachdem ich diese Aufgabe jetzt einmal durchgerechnet habe, sieht das alles schon etwas verständlicher aus und lässt mich das Prinzip besser verstehen. Erstmal vielen Dank für die Hilfe! |
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| 21.11.2013, 12:47 | Dörteee18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi Freunde ! Also die Aufgabe a habe ich ähnlich gelöst, doch wie geht es weiter mit Aufgabe b ? Ich hab nicht so ganz verstanden in der Vorlesung.. |
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| 21.11.2013, 13:26 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Überlege dir bildlich, wie so ein Repräsentantensystem aussieht. Vielleicht bekommst du dann eine Idee.
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| 23.11.2013, 09:41 | Dörteee18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja mein Problem ist eigentlich, dass ich das ganze Prinzip des Repräsentantensystems nicht hundertprozentig verstanden habe. Ich arbeite mich schon durch das Internet, um ein Paar Definitionen aufzuschnappen, die mir hilfreich sein könnten, aber für diese Art Aufgabe fehlt es mir irgenwie 
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| 23.11.2013, 14:13 | maj.lie09 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe gerade auf einer anderen Seite genau dieselbe Aufgabe gefunden. Allerdings bin ich aus der Erklärung nicht sonderlich schlau geworden. Ich kann mir so ein Repräsentantensystem auch gar nicht bildlich vorstellen
Die Erklärung, die ich gefunden hatte war folgende: Betrachte die beiden Fälle x1=0 und x1 ungleich 0. Für x1 ungleich 0 sei o.B.d.A. x1=1. Im ersteren Fall kannst du je nach Wahl von x2 zwei unterschiedliche Äquiv.-klassen erzeugen. Im zweiten Fall so viele, wie es reelle Zahlen gibt. Wir möchten ein Repräsentantensystem angeben, also V "Teilmenge" von |R², sodass es in jeder Äquivalenzklasse genau einen Repräsentanten aus V gibt. Dazu betrachten wir mal eine beliebige Ä.-klasse [(x1,x2)]~ mit dem Repräsentanten (x1,x2). Die Äquivalenzklasse hängt natürlich nicht nur von x1 ab, sondern auch von x2. Denn z.B. (1,1) und (1,2) definieren nicht die selbe Äquivalenzklasse. PS: Vergiss nicht, den Fall x1=0 extra zu betrachten. ___________________ Kann jemand damit was anfangen? |
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| 25.11.2013, 09:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also betrachte erstmal den Fall x1 = 0. Welche Möglichkeiten gibt es dann für das x2 ? Aber wie gesagt: eine bildliche Betrachtung könnte das Ganze etwas erleichtern. Nimm mal (x1, x2) = (1, 1) . Wo liegen nun alle Punkte, die zu (1, 1) äquivalent sind und folglich in derselben Äquivalenzklasse von (1, 1) liegen? Probiere auch andere Ausgangspunkte. |
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