Körper mit vier Elementen mit Verknüpfungstafel herleiten

19.11.2013, 14:52

pszy93

Körper mit vier Elementen mit Verknüpfungstafel herleiten

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass es einen Körper mit genau 4 Elementen gibt, indem Sie die
Verknüpfungstafeln herleiten.

Meine Ideen:
Wegen des neutralen Elements der Addition und Multiplikation muss die 0 und die 1 im Körper sein. Somit lassen sich wegen $\begin{eqnarray*} \exists 0 \in K : a + 0 = a, \forall a \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists 1 \in K : 1 * a = a, \forall a \in K \end{eqnarray*}$ folgende Tafeln aufstellen:

+ 0 1 a b
0 0 1 a b
1 1
a a
b b

* 0 1 a b
0 _ 0
1 0 1 a b
a _ a
b _ b

Wie kommt man nun auf die restlichen Ergebnisse?

19.11.2013, 16:01

RavenOnJ

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RE: Körper mit vier Elementen mit Verknüpfungstafel herleiten
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline + & 0 & 1 & a & b \hline 0 & 0 & 1 & a & b \hline 1 & 1 &&& \hline a & a &&& \hline b & b &&& \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline * & 0 & 1 & a & b \hline 0 & &0 && \hline 1 & 1 & 1 & a & b \hline a && a && \hline b && b && \hline \end{array} \end{eqnarray*}$

Die Plutomikationstafel kannst du leicht auffüllen, zumindest die 0-er dürften klar sein. Sodann bleibt nur das 2x2-Quadrat rechts unten, das auch evident sein sollte.

Bei der Additionstafel kannst du ja mal anfangen mit 1+1=a, wonach der Rest sich zwingend ergibt. Dann solltest du aber zeigen, dass die Tafel Widersprüche aufweist. Bedenke dabei, dass in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau einmal auftauchen muss.

Es bleibt dann nur noch eine Möglichkeit für 1+1=?. Für den Rest musst du etwas tüfteln, damit kein Widerspruch auftaucht. Mach dies mit Hilfe der Multiplikationstabelle und der Körperaxiome.

19.11.2013, 16:31

pszy93

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Danke für die Antwort! Ich habe einige Fragen:
Warum dürften die 0-er in der Multiplikationstafel klar sein? Ist mir nicht aus den Körperaxiomen ersichtlich. Gleiches gilt für das 2x2 Quadrat.

Wie ergibt sich der Rest zwingend, wenn ich 1+1=a setze? Weil in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau auftauchen muss? Wieso das?

19.11.2013, 17:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von pszy93
Warum dürften die 0-er in der Multiplikationstafel klar sein? Ist mir nicht aus den Körperaxiomen ersichtlich.

Oh, bist aber noch weit am Anfang ... Mit Distributivgesetz folgt

$\begin{eqnarray*} 0*x = (0+0)*x {\color{red}=} 0*x + 0*x \end{eqnarray*}$ ,

jetzt ganz links und ganz rechts das additive Inverse $\begin{eqnarray*} -(0*x) \end{eqnarray*}$ addieren.

19.11.2013, 17:10

RavenOnJ

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Zitat:

Original von pszy93
Warum dürften die 0-er in der Multiplikationstafel klar sein? Ist mir nicht aus den Körperaxiomen ersichtlich.

Weil $\begin{eqnarray*} \forall x\in K: 0\cdot x=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Dies folgt aus dem Distributivgesetz:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in K: 0\cdot x=(0+0)\cdot x = 0\cdot x+ 0\cdot x\Rightarrow 0\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Gleiches gilt für das 2x2 Quadrat.

Jedes Element muss in jeder Zeile und Spalte genau einmal vorkommen. Dann musst du mal gucken, was schon festgelegt ist und entsprechend den Rest ausfüllen.

Zitat:

Wie ergibt sich der Rest zwingend, wenn ich 1+1=a setze? Weil in jeder Zeile und Spalte jedes Element genau auftauchen muss? Wieso das?

Dies hängt damit zusammen, dass ein Körper unter der Addition eine (abelsche) Gruppe ist. Für eine beliebige Gruppe $\begin{eqnarray*} (G,*) \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} a*b=a*c\Rightarrow b=c \end{eqnarray*}$
Also kann in der Verknüpfungstabelle in jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element nur einmal auftauchen. Das muss es sogar.

19.11.2013, 19:39

pszy93

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Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von pszy93
Warum dürften die 0-er in der Multiplikationstafel klar sein? Ist mir nicht aus den Körperaxiomen ersichtlich.

Warum ist $\begin{eqnarray*} 0\cdot x+ 0\cdot x\Rightarrow 0\cdot x = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

jetzt ganz links und ganz rechts das additive Inverse $\begin{eqnarray*} -(0*x) \end{eqnarray*}$ addieren.

wie kommt man darauf, dass das additive inverse $\begin{eqnarray*} -(0*x) \end{eqnarray*}$ ist?

19.11.2013, 20:06

HAL 9000

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Du kämpfst an den total falschen Fronten - eigentlich ist es sch...egal, wie man das Inverse bezeichnet, wichtig ist nur, dass es existiert und welche Eigenschaften es hat!!! Also gut, ich formuliere ich es anders, in aller ausführlichster Weise

Zitat:

Mit Distributivgesetz folgt

$\begin{eqnarray*} 0*x = \ldots = 0*x + 0*x \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das additive Inverse der Zahl (0*x), d.h. dasjenige Körperelement mit $\begin{eqnarray*} (0*x) + y = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y + (0*x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Und genau diese Element addieren wir zur obigen Gleichung hinzu:

$\begin{eqnarray*} 0*x + y = (0*x + 0*x) + y \end{eqnarray*}$ .

Links steht dann wegen der Eigenschaft der Inversen einfach $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Und rechts gemäß Assoziativgesetz der Addition:

$\begin{eqnarray*} (0*x + 0*x) + y = 0*x + (0*x + y) = 0*x + 0 = 0*x \end{eqnarray*}$ .

Also gilt wegen der Gleichheit von linker und rechter Seite $\begin{eqnarray*} 0 = 0*x \end{eqnarray*}$ .

Wenn du immer derart lange Erklärungen brauchst, kann das noch ein langer Thread werden.

19.11.2013, 20:58

pszy93

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Geil, danke! Jetzt hab ichs! Freude