abelsche Gruppe

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
abelsche Gruppe
Meine Frage:
Sei G eine Gruppe, in der fur alle die Gleichung gilt. Man zeige, dass G eine
abelsche Gruppe ist.

Meine Ideen:
Eine Gruppe hat ja immer eine Verknüpfung. Soll ich bei dieser Gruppe, das Quadrieren als Verknüpfung nehmen?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Das Quadrieren ist nur ein Beispiel für die Verknüpfung. Du musst aber auch unterschiedliche Elemente verknüpfen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Zitat:
Original von RavenOnJ
Das Quadrieren ist nur ein Beispiel für die Verknüpfung. Du musst aber auch unterschiedliche Elemente verknüpfen.

???

@ Lynn2

Nein. Hier ist eine beliebige Gruppe, deren Gruppenoperation multiplikativ geschrieben wird mit als neutralem Element und in der für alle Gruppenelemente ist. Man könnte es auch so sagen: Jedes Gruppenelement ist zu sich selbst invers.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
@Leopold
Da habe ich mich wohl nicht so gut ausgedrückt Augenzwinkern . Ich meinte, das Quadrat ist nur die Verknüpfung eines Elements mit sich selber. Es müssen aber Verknüpfungen zwischen allen Elementen existieren, auch solchen, die voneinander verschieden sind.

Jetzt zufrieden?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Vielen Dank. smile
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Die Assoziativität kann ich nun folgendermaßen nachweisen:
?
 
 
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Da sich ja von oben niemand meldet, übernehme ich mal. Ich hoffe auf keinen Einspruch?

Assoziativität musst du nicht zeigen. Das ist schon vorgegeben dadurch, dass G eine Gruppe sein soll.
Zu zeigen bleibt, dass eine Gruppe G mit der Eigenschaft x²=1 für alle x abelsch (d.h. kommutativ ist).

D.h. zu zeigen für x, y in G: xy=yx.

Dazu kann man z.B. verwenden, dass das Inverse zu einem Element eindeutig bestimmt ist.

lg
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe

Nun dachte ich, dass man schreiben kann! Und dies ist ja 1. Und umgekehrt macht man es genauso.
Ich vermute mal, dass die zu simple ist, was ich mir denke.
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Also dass x=x^(-1) gilt, für x aus G, ist richtig. Aber warum folgt daraus jetzt schon xy=yx für alle x, y aus G?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe

So meinst du?
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
x*x^(-1) = 1 = x^(-1)*x gilt auch für nicht-kommutative Gruppen immer. Du musst zeigen: für beliebige x, y in G: xy=yx.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Assoziativ.
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Wie bereits oben erwähnt ist Assoziativität klar. Du sollst Kommutativität zeigen.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Ich habe auch nach Assoziativität gefragt, weil wir dies auch beweisen sollen! Augenzwinkern
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Die Frage ist, wie bereits oben gesagt, warum gilt auch ? Dass 1*1=1*1 ist, ist a priori eine leere Aussage.

Und Assoziativität musst du nicht zeigen, da du schon weißt "G ist eine Gruppe". Das schließt assoziativ ein.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
So besser?
Louis1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Das ist richtig. Aber warum folgt daraus gh=hg?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: abelsche Gruppe
Weil wenn man auf beiden Seiten g und h multipliziert, ich auf beiden Seiten 1 erhalte.
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