M_2(Z_2) ist einfach

20.11.2013, 15:36

Matheknut

M_2(Z_2) ist einfach

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich möchte gerne zeigen, dass der Ring $\begin{eqnarray*} R:=M_2(\mathbb{Z}_2) \end{eqnarray*}$ aller $\begin{eqnarray*} 2 \times 2 \end{eqnarray*}$ Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ einfach ist.

Meine Ideen:
Ich muss ja zeigen, dass es keine (außer die trivialen) Ideale in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gibt. Dazu hab ich zunächst so angefangen.
Sei $\begin{eqnarray*} \{0\}\neq I\triangleleft R \end{eqnarray*}$ . Dann existiert eine Matrix $\begin{eqnarray*} A\neq0 \end{eqnarray*}$ , die in dem Ideal ist. Wenn $\begin{eqnarray*} A \in GL(2,2) \end{eqnarray*}$ , dann wäre ja auch die Einheitsmatrix drin und somit $\begin{eqnarray*} I=R \end{eqnarray*}$ . Also ist o.B.d.A.
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a&b\\\lambda a& \lambda b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ .
Ok ich könnte jetzt einfach solange Matrizen ranmultiplizieren und ranaddieren, bis eine inverse Matrix rauskommt, jedoch scheint mir dieses zu hässlich.
Gibt es da irgendein schönes Argument oder eine schnelle Berechnung, die mich zum Ergebnis führt?
Danke

20.11.2013, 17:52

Elvis

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Wieso erzeugt $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein von R verschiedenes Ideal ?

20.11.2013, 18:37

Matheknut

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Ja du hast recht. Aber was soll denn die Aufgabe:

Zeige, dass der Ring einfach ist.

Das bedeutet doch, dass es keine zweiseitigen Ideale hat, oder nicht?
Danke für deine Hilfe.

20.11.2013, 19:58

Elvis

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... ich bin mir noch nicht sicher, ich habe nur gefragt ...

20.11.2013, 20:11

Matheknut

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Ja aber ist nicht

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}M_2(\mathbb{Z}_2)=\{\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&b\\0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} M_2(\mathbb{Z}_2)\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}=\{\begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1&0\\1&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\0&0 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$ , da

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\0&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a&0\\c&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Oder müssten diese Links bzw. Rechtsideale gleich sein, damit es ein Ideal wird?

20.11.2013, 20:14

Captain Kirk

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Ein Ring ist einfach, wenn die beiden trivialen Ideale die einzigen beidseitigen Ideale sind.

20.11.2013, 20:19

Matheknut

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Ja genau. Diese beiden Links- bzw. Rechtsideale müssten gleich sein, damit es ein Ideal wird.
Aber, wenn ich jetzt stupide alle Möglichkeiten durchgehe, werd ich doch wahnsinnig. Kann man denn die Behauptung irgendwie nett zeigen?
Vielen Dank euch beiden.

20.11.2013, 20:36

Captain Kirk

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Es gibt den allgemeinen Satz, dass für einen Ring R gilt:
Die Ideale in Mat(n,R) sind von der Form Mat(n,I), wobei I ein Ideal in R ist.

Lässt sich elementar in ein paar Zeilen zeigen. (Man sollte mit Elementarmatrizen umgehen können).

Aber was ist denn so furchtbar daran in diesem extrem überschaubaren Fall die Fälle durchzugehen?

22.11.2013, 18:09

tmo

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Zitat:

Original von Elvis
Wieso erzeugt $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kein von R verschiedenes Ideal ?

Man sollte nicht vergessen, dass man in einem Ideal auch addieren darf!

Mit Permutationsmatrizen landet man ohne Probleme bei $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und dann addieren...

24.11.2013, 17:42

Elvis

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Genau das habe ich mir gedacht, und ich dachte, dass ich mit meiner Frage diesen Gedanken hervorrufen könnte. Freude

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