Basis bestimmen

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Vazraelz Auf diesen Beitrag antworten »
Basis bestimmen
Wink

Ich habe fünf Vektoren im R^5 gegeben und soll eine Basis von bestimmen.

Die fünf Vektoren lauten



(jeweils bitte die transponierte Darstellung betrachten, also jeder Vektor besteht aus einer Spalte)

Nun habe ich
1) ein Gleichungssystem mit 5 Zeilen und 5 Spalten erstellt (die letzte Spalte ist der Nullvektor)
2) das Gleichungssystem gelöst

Ich erhalte sodann 2 Nullzeilen und 3 Zeilen, die ich nicht mehr auf Nullzeilen reduzieren kann.

=> V = span(v1, ..., v5) besitzt 3 linear unabhängige Vektoren, und zwar v1, v2 und v3.


D.h. eine von mehreren möglichen Basen von V ist die Menge {v1, v2, v3}, insbesondere ist Dim(V)=3.

Ist das korrekt? Wenn ja, gibt es einen alternativen Weg dies zu zeigen, der ökonomischer ist? Wenn nein, wo liegt der Fehler?
Telperion Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen
Hallo,
dein Lösungsweg ist korrekt, sofern du die 3 Vektoren genommen hast, die zu den drei nicht Nullzeilen korrespondieren. Freude Auch deine weiteren Ausführungen sind korrekt.

Was meinst du mit einem ökonomischerem Weg? Im Allgemeinen wird dir nichts anderes übrig bleiben, als das LGS ( mit dem Gauß-Algorithmus) zu lösen.

Viele Grüße,
Dominik
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis bestimmen
Zitat:
Original von Vazraelz
Nun habe ich
1) ein Gleichungssystem mit 5 Zeilen und 5 Spalten erstellt (die letzte Spalte ist der Nullvektor)
2) das Gleichungssystem gelöst

Hm. Die "letzte Spalte ist der Nullvektor" ? Ich kann mir im Moment nicht vorstellen, wie du das meinst bzw. wie dazu die Matrix aussehen soll.

Zitat:
Original von Vazraelz
Ich erhalte sodann 2 Nullzeilen und 3 Zeilen, die ich nicht mehr auf Nullzeilen reduzieren kann.

=> V = span(v1, ..., v5) besitzt 3 linear unabhängige Vektoren, und zwar v1, v2 und v3.

Dumm ist nur, daß -1 * v1 - 2 * v2 + v3 = 0 ist. Also sind v1, v2 und v3 linear abhängig. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Vazraelz
Wenn ja, gibt es einen alternativen Weg dies zu zeigen, der ökonomischer ist?

Nun ja, es gibt einen Weg, der in meinen Augen nicht nur einfacher, sondern vor allem auch ein korrektes Ergebnis liefert: schreibe die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform. Wenn du bei Zeilenvertauschungen noch nachhältst, welche Zeile welchem Vektor entspricht, bekommst du am Ende mit den Nicht-Nullzeilen die Vektoren, die eine Basis bilden. smile
Vazraelz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der Fehler ist mir gerade klar geworden.

Aber wieso schreibe ich die Vektoren nun als Zeilenvektoren?

Da ich so sehe, welche Zeile (=Vektor) sich aus anderen Zeilen (=Vektoren) ergibt, d.h. welche Zeilen/Vektoren ich wie kombinieren kann, um eine andere Zeile zu erhalten.. ? (ich hoffe man versteht was gemeint ist!)

Wenn ich das dann so mache, wie du schreibst, muss ich dann als Ergebnis Vektoren aus V=span(...) erhalten? Oder können das auch andere Vektoren aus R^5 sein?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vazraelz
Da ich so sehe, welche Zeile (=Vektor) sich aus anderen Zeilen (=Vektoren) ergibt, d.h. welche Zeilen/Vektoren ich wie kombinieren kann, um eine andere Zeile zu erhalten.. ?

Richtig.

Zitat:
Original von Vazraelz
Wenn ich das dann so mache, wie du schreibst, muss ich dann als Ergebnis Vektoren aus V=span(...) erhalten?

Ja.
Vazraelz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich erhalte aber nicht direkt Vektoren aus W, sondern:

(3,0,0, -1 ,-3)
(0, 9, 0, 19, 18)
(0, 0, 9, -7, 0)

Dies erhalte ich für die Matrix

4 1 1 0 -2
0 1 4 -1 2
4 3 9 -2 2
1 1 1 1 1
0 -2 -8 2 -4

verwirrt
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Vazraelz
Ich erhalte aber nicht direkt Vektoren aus W, sondern:

(3,0,0, -1 ,-3)
(0, 9, 0, 19, 18)
(0, 0, 9, -7, 0)

Auf die letzte Zeile bin ich auch gekommen. Die anderen beiden kann ich nicht nachvollziehen. Da müßtest du schon deine Rechnung verraten.
Vazrael Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

4 1 1 0 -2 (= IV)
0 1 4 -1 2
4 3 9 -2 2
1 1 1 1 1 (= I)
0 -2 -8 2 -4

->
1 1 1 1 1
0 1 4 -1 2
4 3 9 -2 2 (-4*I)
4 1 1 0 -2 (-4*I)
0 -2 -8 2 -4
->
1 1 1 1 1 ( -II)
0 1 4 -1 2
0 -1 5 -6 -2 (+II)
0 -3 -3 -4 -6 (+3*II)
0 -2 -8 2 -4 (+2*II)
->
1 0 -3 2 -1 (*3 + III)
0 1 4 -1 2 (*9 - 4*III)
0 0 9 -7 0
0 0 9 -7 0 (-III)
0 0 0 0 0
->
3 0 0 -1 -3
0 9 0 19 18
0 0 9 -7 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

So habe ich gerechnet.
Ich habe die Matrix auf Zeilen-Normalform gebracht: Geht das so auch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ist im Prinzip ok, wobei es unnötig ist, Nullen oberhalb dem ersten Nicht-Nullelement einer Zeile zu erzeugen. Wie dem auch sei, wenn du die erhaltenen Zeilen als Vektoren schreibst, sind diese natürlich Elemente von V.
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