Für welche a e IR ist Abbildung wohldefiniert

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porter Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche a e IR ist Abbildung wohldefiniert
Hallo

Ich habe schon wieder ein Problem mit einer Aufgabe:

Sei und definiert durch x \Rightarrow \alpha x.

Für welche ist die Abbildung



wohldefiniert.

Die "-" - Zeichen sollen die gewellte Linie darstellen, der Formeleditor hat es irgendwie nicht gemacht.


Man bildet ja in IR Faktormengen (was auch immer das genau heißt) und dann kann man zwischen diesen Mengen eine induzierte Abbildung bilden:



Also, ich weiß, dass gelten muss, damit die Abbildung wohldefiniert ist.

Aber ich habe keinen Plan, wie ich diese Formeln anwenden kann.

Freue mich über jede Hilfe

Danke
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir das jetzt nochmal angeschaut, aber so richtig verstehen kann ich es immer noch nicht.

Ich habe jetzt gelesen, dass die Faktormengen die Menge der Äquivalenzklassen sind.

Aber wie genau sieht das dann hier aus?

Gib es also für jedes eine Äquivalenzklasse?
Aber auch was bezieht sich dann die Äquivalenzrelation? Auf ?

Ich würde ja sagen, dass die Wohldefiniertheit für alle ohne {0}.

Müsste ich dann zeigen, dass für zwei beliebige Elemente aus IR ein existiert, sodass gleich ist, falls die beiden beliebigen Elemente gleich sind?

Ich komme da alleine irgendwie nicht weiter.
afghagjhtz Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

erstmal in schön:

definiert durch
und



Die entscheidende Frage hier ist:
Was sieht denn die Äquivalenzrelation konkret aus?
Irgendwas sollte darüber ja gegeben sein.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort.

Es gab noch einen Nachtrag:

Wir haben gesehen, dass für die Relation eine Äquivalenzrelation definiert.
afghagjhtz Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du ja nur noch

Zitat:

nachprüfen
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von afghagjhtz
Dann musst du ja nur noch

Zitat:

nachprüfen


Und inwiefern hat das dann mit zu tun?

Klingt jetzt vielleicht blöd, könntest du mir das vielleicht bitte anhand eines Beispieles erklären?

Das wäre sehr nett
 
 
afghagjhtz Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach die hier verwendeten Def. von und für die Funktion einsetzen.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber ich verstehe nicht wirklich, wie das funktioniert.

Ich nehme eine . Die Äquivalenzklasse dieses x enthält nun alle y, die in Relation zu x stehen.

Wenn ich z.B. x=2 nehme, dann befindet sich z.B. y=1 in der Äquivalenzklasse von [x=2].

Und wenn ich jetzt die Äquivalenzklasse [x=2] mit einem Faktor multipliziere, dann bekomme ich eine neue Äquivalenzklasse mit neuen Elementen. Und diese sollen dann möglichst auch in Relation stehen?

Ich kann das irgendwie nicht auf ein Beispiel übertragen.
afghagjhtz Auf diesen Beitrag antworten »


Jetzt Def. einsetzen.
Genauso für
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von afghagjhtz

Jetzt Def. einsetzen.
Genauso für


Ok, also vielleicht so:

Seien , für die gilt .

Laut der Definition der Äquivalenzrelation gibt es nun ein mit

also weiter:



jetzt sollte da ja dann irgendwie rauskommen, dass das = ?

Könnte es irgendwie so funktionieren?

NACHTRAG:



Heißt das für ist es wohldefiniert?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Äquivalenzklasse gehören alle Zahlen mit ganzzahligem Abstand von . Ebenso gehören alle zur selben Äquivalenzklasse wie , wenn sie ganzzahligem Abstand von haben. Daraus folgt, dass nur geeignete Lösungen sind, damit die Abbildungen wohldefiniert sind.

Dies heißt jedoch nicht, dass



injektiv ist. Dies ist nur für der Fall. Für werden alle auf abgebildet. Für werden mehrere Äquivalenzklassen auf eine Äquivalenzklasse abgebildet, beispielsweise für die Äquivalenzklassen auf , da usw..
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