Element hoch Gruppenordnung ohne Lagrange

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Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »
Element hoch Gruppenordnung ohne Lagrange
Hallo,

kann man irgendwie, ohne den Satz von Lagrange zu benutzen, zeigen, dass in einer endlichen Gruppe für alle stets gilt?

Eigentlich habe ich einen Integritätsbereich gegeben, sodass eine endliche, multiplikativ abgeschlossene Teilmenge von ist. Ich weiß nicht, ob das noch irgendwie mehr bringt. Die stärkste Voraussetzung, die ich daraus folgern konnte, ist, dass eben Gruppe ist.
Wäre über Ratschläge dankbar.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Info: Habe es inzwischen selbst zeigen können.
Mach braucht noch, dass die Gruppe abelsch ist, damit gehts dann.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Element hoch Gruppenordnung ohne Lagrange
Dass abelsch ist, braucht man keineswegs.
Betrachtet man alle , , so muss eines davon sein, denn ist endlich. Man zeigt kurz, dass alle Elemente bis zu diesem (ersten dieser Art) verschieden sein müssen und deren Azahl damit höchstens sein darf.

Vermutlich würde dein Beweis auch funktionieren, da abelsch ist. Oder brauchst du ggf. weitere Elemente?
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

was du da erläuterst ist mir klar, ich sehe aber nicht, wie daraus folgt, dass gilt. Es geht hier ja nicht um zyklische Gruppen.

Es könnte ja passieren, dass 30-elementig ist und minimal ist mit . Wieso darf das bei deiner Argumentation nicht passieren?

(Mir ist klar, dass das nicht passiert, sehe aber nicht, wie man es ohne den Satz von Lagrange ohne Kommutativität zeigen kann).
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es läuft daraus hinaus, dass du den Satz von Lagrange beweisen musst.
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Im Falle einer abelschen Gruppe geht es eben auch anders, das habe ich ja oben erwähnt. Ich kann den Beweis mal skizzieren:

Es sei also x aus G beliebig gegeben. Man betrachtet die Abbildung . Diese ist eine Bijektion. Deswegen stimmt mit überein.
 
 
Nofeykx Auf diesen Beitrag antworten »

Verdammt,

.
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