Gleichmächtigkeit

22.11.2013, 14:24

Lynn2

Gleichmächtigkeit

Meine Frage:
Sind die Mengen ]0, 1[ und [0, 1] gleichmächtig ?

Meine Ideen:
Die beiden Mengen sind nicht gleichmächtig, da in ]0, 1[ die 1 und die 0 nicht enthalten sind wie in [0,1].
Ich vermute leider, dass ich diese Antwort zu primitiv ist. :/

22.11.2013, 14:35

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich vermute leider, dass ich diese Antwort zu primitiv ist. :/

Ist sie auch. Die Mengen sind Gleichmächtig. Also, was ist zu tun?

22.11.2013, 18:24

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze :

Zitat:

Original von Mazze
Ist sie auch. Die Mengen sind Gleichmächtig. Also, was ist zu tun?

Kleiner Einspruch:
Einspruch ist eigentlich viel zu hart formuliert. Vielmehr habe ich eine Frage an Mazze :

Ich gehe mal davon aus, das gilt: ]0, 1[ $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und auch [0, 1] $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Kann es dann sein, daß das Problem bezüglich dem Vergleich der Mächtigkeit der beiden Intervalle,
das im ersten Moment so aussieht, als ob es nicht weiter schwer wäre,
in Wirklichkeit eines der Probleme der berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen von David Hilbert darstellt?

Dann wäre Lynn2 's Frage nicht entscheidbar.

Ich bin mir nicht sicher. Ich kann auch komplett falsch liegen.
Aber ich dachte, ich spreche dich mal drauf an.

Zitat:

Original von Kontinuumshypothese
...
einfache Kontinuumshypothese:
Es gibt keine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit kleiner ist als die der reellen Zahlen.
Anders ausgedrückt:
Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.
...
Daher kann die Kontinuumshypothese im Rahmen der Standardaxiome der Mengenlehre weder bewiesen noch widerlegt werden.
...

oder auch

Zitat:

Original von Überabzählbare Menge
...
Nach der Kontinuumshypothese gibt es keine überabzählbaren Mengen, deren Mächtigkeit kleiner als die der reellen Zahlen ist.
Es konnte jedoch gezeigt werden, dass diese Hypothese grundsätzlich nicht entscheidbar ist.

dazu noch:
siehe Gödelscher Unvollständigkeitssatz

22.11.2013, 18:33

mengi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat gar nichts mit der Kontinuumshypothese zu tun.

A:=]0, 1[=B\{0;1}:= [0, 1]\{0;1}

Ist B nicht endlich, so hat A die selbe Mächtigkeit.
Das kann man mittels Kardinalzahlarithmetik zeigen:
de.wikipedia.org/wiki/Kardinalzahl_%28Mathematik%29
oder direkt.

22.11.2013, 18:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

@jimmyt: Du unterliegst hier einem logischen Irrtum.

Man kann nicht entscheiden, ob es eine Teilmenge der reellen Zahlen gibt, deren Mächtigkeit echt zwischen den Mächtigkeiten von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt.

Für eine (oder hier halt 2) konkret gegebene Teilmenge kann man aber sehr wohl entscheiden, ob sie die selbe Mächtigkeit wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ hat.

22.11.2013, 18:47

jimmyt

Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo :

Ah, ok. Jetzt habe ich es, glaube ich zumindest, gecheckt. Big Laugh

Das war ja nur eine Frage.
Also beide Intervalle sind überabzählbar und damit gleichmächtig?

22.11.2013, 18:51

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also beide Intervalle sind überabzählbar und damit gleichmächtig?

Gleichmächtig sind sie, deine Begründung ist falsch. Zwei überabzählbare Mengen sind nicht zwingend gleichmächtig.

23.11.2013, 16:04

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Und dies bedeutet nun für meine Lösung?
Die beiden Mengen sind gleichmächtig. Doch wieso sind sie gleichmächtig? [0, 1] enthält doch 2 Elemente mehr als ]0,1[?

23.11.2013, 18:23

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir doch mal die Definition von Gleichmächtig an. Dann siehst Du auch was für die Lösung der Aufgabe zu tun ist.

23.11.2013, 18:34

Lynn2

Auf diesen Beitrag antworten »

Laut Wikipedia:
Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion $\begin{eqnarray*} f\colon A \to B \end{eqnarray*}$ gibt.

Also muss ich die Bijektion nachweisen. Kannst du mir dabei bitte auf die Sprünge helfen?

23.11.2013, 18:43

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also muss ich die Bijektion nachweisen.

Etwas unglücklich formuliert. Du musst eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f:[0,1] \to ]0,1[ \end{eqnarray*}$

finden, die Bijektiv ist.

Zitat:

Laut Wikipedia:

Wie kommst Du eigentlich dazu so eine Aufgabe lösen zu müssen, ohne die Begriffe zu kennen?

Zur Lösung: Hier hilft es wenn Du die Randpunkte des Intervals [0,1] auf bestimmte Werte in ]0,1[ abbildest. Am besten wählst Du dir eine Folge die in (0,1) liegt und verschiebst diese um 2 nach rechts. Die ersten beiden Elemente sind dann die Randpunkte. Diese Folge kannst Du dann durch die Abbildungsvorschrift nach Links verschieben. Du musst dann nur schauen dass Du das ganze injektiv hinkriegst. Für den Rest wählst Du die Identität als Abbildung.

Neue Frage »

Antworten »

Gleichmächtigkeit

Verwandte Themen