Basis Vektorraum

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MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis Vektorraum
Wir betrachten den komplexen Vektorraum mit Koeffizienten in vom Grad . Gegeben seien darin die Polynome

Sei .
Bestimmen Sie
Da das Thema neu für mich ist, habe ich leider keinen persönlichen Lösungsansatz. Wer kann mir helfen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis Vektorraum
Wie ist denn die Dimension eines Vektorraums definiert?
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich wollte erst mal den anderen Thread abschließen, bevor ich hier weiter mache. Ich habe dort ja gelernt, dass man die einzelnen Lösungsvektoren zeilenmäßig untereinander schreibt und dann die Zeilenstufenform herstellt. Nun habe ich hier ja Vektoren, oder? Würde dann ja nur eine einzige Spalte erhalten. (Bevor ich weitermache, warte ich erst mal eine Antwort ab, ob ich überhaupt richtig liege).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte, daß in einer Matrix lediglich die Koordinaten der Vektoren eingetragen werden. Bei dieser Aufgabe mußt du daher erstmal die Vektoren, aus denen der Unterraum U gebildet wird, als Linearkombination aus den Basisvektoren von V darstellen.
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zum Beispiel für den ersten Vektor von U
?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip ja, aber ich sehe gerade, daß diese Polynome eh keine Basis von V bilden, da noch ein Polynom mit Grad 4 fehlt. Warum diese Polynome dann angegeben wurden, ist mir jetzt nicht klar. Vielleicht ist es daher einfacher, die Standardbasis zu nehmen:
 
 
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe noch mal nachgeschaut, sind wirklich nur die angegebenen Polynome gegeben, es gab jedoch noch eine Vorfrage mit "Bestimmen Sie eine Basis B von V, die alle diese (gegebenen) Polynome enthält. Somit dürfte wohl gemeint sein, dass als Standardbasis verwendet werden soll, denn ein -Polynom ist ja nicht gegeben.
Für den ersten Vektor erhalte ich im -VR.
Ist aber viel Probiererei dabei. Gibt es da ein schnelleres Verfahren (Gauß geht ja hier nicht).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, da hilft nur Ärmel hochkrempeln und rechnen. smile
Bezüglich der Standardbasis wäre es auch einfacher und ich sehe auch nicht, daß diese nicht verwendet werden dürfte.

Alternativ: poste die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut. Augenzwinkern
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

Einführungstext der Aufgabe wie oben, dann
a) Zeigen Sie, dass diese Polynome linear unabhängig sind.
b) Bestimmen Sie eine Basis B von V, die alle diese Polynome enthält.
c) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor des Polynoms bezüglich U.
d) wie oben.
Heißt bezüglich der Standardbasis die Vektoren des Unterraums zu bestimmen einfach die Linearkombination aufzustellen ohne Berücksichtigung von ?
Weiterhin, wenn ich das Polynom mit berücksichtige, dann wird doch bezüglich der Vektoren des Unterraums sowieso immer gleich Null, da ich ja sonst das nicht wegbekomme. Müsste sogar schon für so sein, denn in den Vektoren von U kommt die dritte Potenz ja garnicht vor.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMchen60
Heißt bezüglich der Standardbasis die Vektoren des Unterraums zu bestimmen einfach die Linearkombination aufzustellen ohne Berücksichtigung von ?

Nun ja, bei den Linearfaktoren wird da oder dort sicherlich ein i auftauchen. Im Prinzip muß du die Klammern ausmultiplizieren und die Linearfaktoren ablesen.

Zitat:
Original von MMchen60
Weiterhin, wenn ich das Polynom mit berücksichtige, dann wird doch bezüglich der Vektoren des Unterraums sowieso immer gleich Null, da ich ja sonst das nicht wegbekomme. Müsste sogar schon für so sein, denn in den Vektoren von U kommt die dritte Potenz ja garnicht vor.

So ist es. smile
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

So habe das mal nachvollzogen und komme zu folgender Matrix (in Zeilenform):
wobei in Zeile 3 und 4 bereits und vertauscht sind.
Die Zeilenstufenform führt zum Ergebnis:

Somit wäre .
Falls das nun stimmt, wäre die Division durch in Zeile 2 überhaupt notwendig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MMchen60
Somit wäre .

Ja.

Zitat:
Original von MMchen60
Somit wäre .
Falls das nun stimmt, wäre die Division durch in Zeile 2 überhaupt notwendig?

Nein. smile
MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit
Also nochmals vielen Dank für deine Hilfe Blumen . Ging ja schon etwas schneller hier als im anderen Thread LOL Hammer .
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