Bestimmung der Diskriminante

24.11.2013, 20:35

Kimyaci

Bestimmung der Diskriminante

In Anschluss an meinen anderen Thread hab ich hier noch zwei Aufgaben, wo ich eine (kurze) Kontrolle brauche. Also wieder Werte für t, bei dem der Graph der Funktion genau eine, zwei oder keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse hat.

Erste Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{t^2} x^2 + 2x - t \end{eqnarray*}$

Null setzen:

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{t^2} x^2 + 2x - t \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + 2xt^2 - t^3 \end{eqnarray*}$

Diskriminante:

$\begin{eqnarray*} D = ( \frac{2t^2}{2} )^2 + t^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = t^4 + t^3 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} t^4 > t^3 \end{eqnarray*}$ gilt und das negative Vorzeichen bei $\begin{eqnarray*} t^4 \end{eqnarray*}$ stets verschwindet, gilt für

$\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ , D > 0, also zwei Lösungen.

Und für $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x) = (c-1)x^2 + 2cx + c + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 =(c-1)x^2 - x^2 + 2cx + c + 1 \end{eqnarray*}$

Alles durch c-1 (das gilt jetzt für $\begin{eqnarray*} c \neq 1 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + \frac{2c}{c-1}x + \frac{c}{c-1} + \frac 1 {c-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = x^2 + \frac{2c}{c-1}x + \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

Diskriminante:

$\begin{eqnarray*} D = (\frac{\frac{2c}{c-1}}{2})^2 - \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = (\frac{2c}{2c-2})^2 - \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac{4c^2}{(2c-2)^2} - \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt 2. Binom:

$\begin{eqnarray*} D = \frac{4c^2}{4c^2+4c -4} - \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

Wie kriege ich das nun zusammengefasst? verwirrt

24.11.2013, 22:45

opi

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RE: Bestimmung der Diskriminante

Zitat:

Original von Kimyaci
Da $\begin{eqnarray*} t^4 > t^3 \end{eqnarray*}$ gilt

Wer behauptet denn so etwas? Dies gilt nicht über dem gesamten Definitionsbereich.
Berechne die Lösung von $\begin{eqnarray*} t^4+t^3=0 \end{eqnarray*}$ und Du wirst zu neuen Lösungsbereichen geführt. Augenzwinkern

Edit:
Vergessen zu schreiben:

Zitat:

Und für $\begin{eqnarray*} t = 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} D = 0 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

24.11.2013, 23:38

Kimyaci

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RE: Bestimmung der Diskriminante

Zitat:

Wer behauptet denn so etwas?

Ich behaupte das. Hm;

$\begin{eqnarray*} t^4+t^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^4=-t^3 \end{eqnarray*}$

Ich kann doch keine negative Wurzel ziehen? Bzw. auch nicht durch t³ teilen...

Zitat:

t=0 ist nicht definiert.

Ach, okay.

Und was ist mit der zweiten Funktion nun? verwirrt

Irgendwie hab ich immer noch nicht ganz verstanden was der Sinn dieser Diskriminanten ist bzw. wie ich die Lösung nun angeben soll...

25.11.2013, 00:09

opi

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Ich behaupte etwas anderes, z.B. $\begin{eqnarray*} 0{,}5^4 < 0{,}5^3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t^4+t^3=0 \end{eqnarray*}$

Klammere hier $\begin{eqnarray*} t^3 \end{eqnarray*}$ aus, dann bekommst Du über den Satz vom Nullprodukt zwei Lösungen.

Zur zweiten Aufgabe:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D = (\frac{\frac{2c}{c-1}}{2})^2 - \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

Den linken Bruch kannst Du zu $\begin{eqnarray*} \left( \frac {c}{c-1} \right)^2 \end{eqnarray*}$ kürzen und danach den rechten Bruch mit $\begin{eqnarray*} (c-1) \end{eqnarray*}$ erweitern. Danach zusammenfassen.

25.11.2013, 00:20

Kimyaci

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Oh, okay ich sehs ein (ich sollte aufhören in Grenzwerten zu denken).

Zum Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} t^4+t^3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(t+1)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, t = 0 und t = - 1.

Zweite Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} D = \left( \frac {c}{c-1} \right)^2 - \frac{c+1}{c-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac {c^2}{(c-1)^2} - \frac{(c+1)(c-1)}{(c-1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac {c^2 - (c² - 1)}{(c-1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac {1}{(c-1)^2} \end{eqnarray*}$

Und das ist jetzt für $\begin{eqnarray*} c \neq 1 \end{eqnarray*}$ : D > 0? Also zwei Lösungen?

25.11.2013, 00:29

opi

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1) Wann wird also die Diskriminante negativ?

2) Ja, bis auf die Ausnahme $\begin{eqnarray*} c \neq 1 \end{eqnarray*}$ besitzt die Funktion zwei Schnittstellen mit der x_Achse.
Und für c=1? Da geht noch was. Augenzwinkern

25.11.2013, 00:36

Kimyaci

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1) Für alle t aus $\begin{eqnarray*} 0 > t > - 1 \end{eqnarray*}$ ?

2) Für c = 1 erhalte ich (nach einsetzen in die Ursprungsgleichung) f(x) = 2x + 2, also eine lineare Funktion, d.h. ein Schnittpunkt. 0 = 2x + 2 => - 2 = 2x => x = - 1.

Folglich D = 0?

25.11.2013, 00:49

opi

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1) Ja. Für diesen Bereich ist die Diskriminante negativ und es gibt keine Lösung.
t= -1: Die Diskriminante ergibt Null --> genau eine Lösung.

2) Nach Deinem Edit: Die Funktion ist an dieser Stelle linear, es gibt einen Schnittpunkt mit der x-Achse und keine Diskriminante (die für unsere Zwecke nur bei quadratischen Funktionen zu berechnen ist.)

25.11.2013, 00:58

Kimyaci

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Ok dann nochmal kurz zusammengefasst:

Erste Funktion:

Für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (\infty, -1) \cap (0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist D > 0, zwei Lösungen.

Für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ ist D < 0, keine Lösung.

Für $\begin{eqnarray*} t=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist D = 0, genau eine Lösung.

Zweite Funktion:

Für alle c außer $\begin{eqnarray*} c \neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt D > 0, also zwei Lösungen.

Für c = 1 gibt es keine Lösung (also auch keine Diskriminante) und der Fall D = 0 ist auch nicht vertreten.

Soweit richtig?

25.11.2013, 01:15

opi

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Zitat:

Erste Funktion:

Für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (\infty, -1) {\color{red}\cup} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ ist D > 0, zwei Lösungen.

So sollte es stimmen.
t=0 bleibt auch weiterhin nicht definiert. Augenzwinkern

2) Für den Fall c=1 liegt keine quadratische Funktion vor. (War dieser Fall evtl. sogar in der Aufgabenstellung ausgeschlossen? verwirrt

)
Übrig bleibt eine lineare Funktion, welche eine Nullstelle besitzt.

25.11.2013, 01:20

Kimyaci

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Es ist schon spät, ich hab die LateX-Befehle vertauscht, aber ja ich meinte das richtige.

In der Aufgabenstellung stand nichts dergleichen, nun gut, dann gibt es für die zweite Funktion einmal D > 0, zwei Nullstellen und für c = 1 gibt es eine Nullstelle, aber keine Diskriminante (so müsste es richtig lauten).

Alles klar, danke, dass du dir so spät noch Zeit genommen hast. Sehr nett von dir. Freude

25.11.2013, 01:38

opi

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Gern geschehen.
Ich liege gedanklich allerdings auch schon halb im Bett. Falls noch Fragen deinerseits erfolgen oder Anmerkungen meinerseits erwünscht sind, ist morgen ein schöner Tag dafür. Schläfer

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