Metrische Räume Ungleichung Beweis

24.11.2013, 22:29

Hamude

Metrische Räume Ungleichung Beweis

Hallo, ich bin auf eure Hilfe angeweiesen smile

Ich versuche gerade die letzte Vorlesung zu verstehen aber hänge an folgender Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} x_{1},...,x_{n} \in \mathbb R _{>0} \end{eqnarray*}$ . Beweise:

a) $\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^n x_{k} \right)^{2} \leq n\sum\limits_{k=1}^n x^{2}_{k} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{x_{k} } } \leq \sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n x_{k} } \end{eqnarray*}$

Meine Frage dazu ist, wie darf ich die Summenzeichen umwandeln? Würde mich sehr über einen anstupser freuen smile

25.11.2013, 00:14

jimmyt

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RE: Metrische Räume Ungleichung Beweis

Zitat:

Original von Hamude
...
Meine Frage dazu ist, wie darf ich die Summenzeichen umwandeln? Würde mich sehr über einen anstupser freuen smile

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a ~=~ \underbrace{a + \dots + a}_{\text{n-mal}} \end{eqnarray*}$

Mögliche Umwandlungen für diese Summenzeichen wären z.B.:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n x^{2}_{k} ~=~ \left ( \sum_{k=1}^{n-1} x^{2}_{k} \right ) + x^{2}_{n} ~=~ x^{2}_{1} + \dots + x^{2}_{n} ~=~ \dots \end{eqnarray*}$

Frage an dich:
Wie hast du vor diese Ungleichungen zu beweisen? Vlt. mit vollständiger Induktion? smile

25.11.2013, 02:09

Hamude

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DAnke für die Antwort smile

Die Aufgabenstellung steht exakt so da wie ich sie geschrieben habe, da steht einfach nur "beweise".
Ob man das mit vollst. Ind. machen muss oder einfach nur zeigen DASS es so ist, ist also anscheinend offen. Ich glaube ich soll einfach nur zeigen, dass es gilt und ich denke auch mal über umformungen.

Werde mich morgen wieder direkt der Aufgabe widmen.

25.11.2013, 09:12

Nofeykx

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Die 2. Ungleichung ist bei richtiger Betrachtung nichts anderes als jene von arithmetischen und geometrischen Mittel.

25.11.2013, 18:28

Hamude

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Ich habe versucht a) mit vollst. Ind. zu beweisen, ich habe gezeigt, dass es für n=1 gilt und muss nur noch beweisen, dass es nicht nur für n sondern für n+1 gilt aber wenn ich n+1 einsetze komme ich nicht mit den Umformungen zurecht.

n+1 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right) ^{2} \leq \left(n+1\right) \left(\left(\sum\limits_{k=1}^n x²_{k} \right)+ x²_{n+1} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x_{1}+ ...+ x_{n}+ x_{n+1} \right)² \leq \left(n+1\right) \left(x²_{1}+...+x²_{n}+x²_{n+1} \right) \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich einfach nicht mehr weiter.

Zitat:

Original von Nofeykx
Die 2. Ungleichung ist bei richtiger Betrachtung nichts anderes als jene von arithmetischen und geometrischen Mittel.

Guter Tipp, aber wie hilft mir das weiter? Wie kann ich dieses Wissen für den Beweis verwenden?

25.11.2013, 20:07

jimmyt

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Zitat:

Original von Hamude
...
n+1 einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right) ^{2} \leq \left(n+1\right) \left(\left(\sum\limits_{k=1}^n x²_{k} \right)+ x²_{n+1} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x_{1}+ ...+ x_{n}+ x_{n+1} \right)² \leq \left(n+1\right) \left(x²_{1}+...+x²_{n}+x²_{n+1} \right) \end{eqnarray*}$

Hier weiß ich einfach nicht mehr weiter.
...

Wie wäre es mit der ersten binomischen Formel:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right) ^{2} ~=~ \left(\sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} + x_{n+1} \right) ^{2} ~\stackrel{\text{binomische F.}}{=}~ \dots ~\stackrel{\text{I.V.}}{\leq}~ \dots \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Hamude

Zitat:

Original von Nofeykx
Die 2. Ungleichung ist bei richtiger Betrachtung nichts anderes als jene von arithmetischen und geometrischen Mittel.

Guter Tipp, aber wie hilft mir das weiter? Wie kann ich dieses Wissen für den Beweis verwenden?

Für die Aufgabe ist Nofeykx zuständig.
Aber vlt. hilft das hier weiter. smile

25.11.2013, 20:41

Nofeykx

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Nunja, habt ihr denn de Ungleichung vom a. und g. Mittel schon gezeigt ? Wenn ja ist es ein Einzeiler, wenn nein musst du diese erstmal beweisen.

25.11.2013, 21:16

Hamude

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Also ich habe binomische Formel angewendet und wieder zusammengefasst und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right)^{1} + 2*\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right) \end{eqnarray*}$

Aber ich seh nicht, was da gesehen werden muss. Ich kriege gerade Gehirnkrämpfe deswegen Big Laugh

Zitat:

Original von Nofeykx
Nunja, habt ihr denn de Ungleichung vom a. und g. Mittel schon gezeigt ? Wenn ja ist es ein Einzeiler, wenn nein musst du diese erstmal beweisen.

Also mit a und g haben wir laut Vorlesungsaufzeichnung was gemacht, aber ich seh keinen Zusammenhang.
Wie würde die eine Zeile aussehen?

25.11.2013, 21:36

Hamude

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Die 1 über der ersten Summe soll eig. eine 2 sein also ².
Habe ich eben erst gesehen

25.11.2013, 22:37

jimmyt

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Zitat:

Original von Hamude
Also ich habe binomische Formel angewendet und wieder zusammengefasst und komme auf:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right)^{2} + 2*\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right) \end{eqnarray*}$

...

Ähm, umwandeln mit erster binomischer Formel ist bei mir das hier:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right)^{2} ~=~ \left( \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right) + x_{n+1} \right)^{2} ~=~ \textcolor{red}{\left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right)^2} + 2 \cdot x_{n+1} \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right) + x_{n+1}^2 ~\stackrel{I.V.}{\leq}~ \dots \end{eqnarray*}$

Das rot markierte ist der linke Teil der Induktionvoraussetzung. smile

25.11.2013, 23:47

Hamude

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Genau, das hatte ich vorhin auch schon, dann habe ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} n\sum\limits_{k=1}^n x²_{k} + 2\cdot x_{n+1} +x²_{n+1} \leq \left(n+1\right)\left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x²_{k} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\sum\limits_{k=1}^n x²_{k} + 2\cdot x_{n+1} +x²_{n+1} \leq n\sum\limits_{k=1}^{n+1} x²_{k} +\sum\limits_{k=1}^{n+1} x²_{k} \end{eqnarray*}$

Ich habe auch schon versucht die rechte Seite außeinander zu nehmen, aber ich komme einfach auf nichts sinvolles. Ich habe alles schon versucht umzustellen usw., aber ich komme einfach nicht drauf >_<.

Verrätst du mir bitte, wie es richtig geht?

26.11.2013, 00:52

jimmyt

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Zitat:

Original von Hamude
...
Verrätst du mir bitte, wie es richtig geht?

Naja, laut Boardprinzip darf ich dir nicht den ganzen Induktionschritt posten.

Ich habe irgendwie den Eindruck, daß du immer ein Summenzeichen einfach wegläßt.
Ich würde so weiter machen:

$\begin{eqnarray*} \left(\sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right)^{2} ~=~ \left( \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right) + x_{n+1} \right)^{2} ~=~ \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right)^2 + 2 \cdot x_{n+1} \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right) + x_{n+1}^2 ~\stackrel{I.V.}{\leq}~ \left ( n\sum\limits_{k=1}^n x^{2}_{k} \right ) + x_{n+1}^2+ 2 \cdot x_{n+1} \cdot \left( \sum\limits_{k=1}^{n} x_{k} \right) ~=~ \dots \end{eqnarray*}$

Und jetzt sich nochmal die I.B. genau anschauen, ein wenig umformen und versuchen zu schlußfolgern. smile

26.11.2013, 01:11

Hamude

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Nach ewigen rumgeforme ist das worauf ich gekommen bin was vlt. ein wenig Sinn machen könnte.
Ist das richtig? wenn ja, woran erkennt man dass es damit bewiesen ist? Wenn nein, was habe ich falsch gemacht?

$\begin{eqnarray*} \left(n\sum\limits_{k=1}^n x²_{k} \right) + x_{n+1}\left(\sum\limits_{k=1}^n x_{k}+ \sum\limits_{k=1}^{n+1} x_{k} \right) \end{eqnarray*}$

26.11.2013, 12:20

jimmyt

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Zitat:

Original von Hamude
Nach ewigen rumgeforme ist das worauf ich gekommen bin was vlt. ein wenig Sinn machen könnte.
Ist das richtig? wenn ja, woran erkennt man dass es damit bewiesen ist? Wenn nein, was habe ich falsch gemacht?

$\begin{eqnarray*} \left(n\sum\limits_{k=1}^n x²_{k} \right) + x_{n+1}\left(\sum\limits_{k=1}^n x_{k}+ \sum\limits_{k=1}^{\textcolor{red}{n+1}} x_{k} \right) \end{eqnarray*}$

Schau dir mal das rot markierte an. Da muß n stehen, und nicht n+1.
Ansonsten ist das korrekt, das habe ich auch als Zwischenschritt raus.

Wie gesagt, ich darf dir nicht alles posten.
Aber ich darf dir weitere Tipps geben.

1.) Schau dir nochmal genau die I.V. und vor allem die I.B. an!
Ich wandle die I.B. mal ein bißchen um:

$\begin{eqnarray*} \left ( \sum_{k=1}^{n+1} x_k\right )^2 ~\leq~ (n+1) \cdot \left ( \sum_{k=1}^{n+1} x_k^2 \right ) ~=~ n \cdot \left ( \sum_{k=1}^{n+1} x_k^2 \right ) + 1 \cdot \left ( \sum_{k=1}^{n+1} x_k^2 \right ) \end{eqnarray*}$

2.) Nutze die Transitivität:
aus a<b und b<c folgt a<c

3.) Und nochmal etwas zum Summenzeichen:

$\begin{eqnarray*} \left ( \sum_{i=1}^n a \right ) + \left ( \sum_{i=1}^n b \right ) ~=~ \underbrace{(a+ \dots + a)}_{\text{n-mal}} + \underbrace{(b+ \dots + b)}_{\text{n-mal}} ~=~ \underbrace{((a+b)+ \dots + (a+b))}_{\text{n-mal}} \end{eqnarray*}$

Man kann zwischen 2 Fällen unterscheiden:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ kleiner gleich und $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \end{eqnarray*}$ größer einer bestimmten Sache.
Du mußt eigentlich weniger rechnen, dafür mehr logisch schlußfolgern. smile

26.11.2013, 16:05

Nofeykx

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Zitat:

Wie würde die eine Zeile aussehen?

Etwas Eigenarbeit ist gefragt, ich habe dir schon die entsprechende Ungleichung genannt.

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