Körper und Teilkörper

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24.11.2013, 22:49	jan21	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper und Teilkörper $\begin{eqnarray} (R, + , \ast ) \end{eqnarray}$ Körper. Zeige $\begin{eqnarray} A \subseteq R \end{eqnarray}$ ist genau dann Teilkörper von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} 0, 1 \in A \end{eqnarray}$ Meine Idee: Ich zeige nun, dass Nullelement und Einselement existieren, oder?
24.11.2013, 23:02	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo jan21, Wie ist denn genau die Aufgabenstellung? So wie du das (bis dato jetzt) geschrieben hast, ist die Aussage sicher nicht richtig. A={0,1} selbst ist zum Beispiel eine Teilmenge von jedem Körper K, aber kein Teilkörper (außer K hat Charakteristik 2).
24.11.2013, 23:12	jan21	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} (R, + , \ast ) \end{eqnarray}$ ein Körper. Zeige, $\begin{eqnarray} A \subseteq R \end{eqnarray}$ ist genau dann ein Teilkörper von $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , wenn gilt: 1) $\begin{eqnarray} 0, 1 \in A \end{eqnarray}$ , 2) $\begin{eqnarray} \forall a,b \in A \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} a + b \in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a \ast b \in A \end{eqnarray}$ , 3) $\begin{eqnarray} \forall a\in A \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} -a \in A \end{eqnarray}$ , 4) $\begin{eqnarray} \forall a \in A\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a^{-1} \in A \end{eqnarray}$ .
24.11.2013, 23:17	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Na also, da sind ja noch 3 Eigenschaften mehr, die deine Menge A hat. Ich frage mich aber, wie ihr Teilkörper definiert habt. Das ist ja eigentlich 1:1 die Definition, oder nicht?
24.11.2013, 23:19	jan21	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich denke, wir sollen allen vier Eigenschaften beweisen, oder nicht?
24.11.2013, 23:24	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie habt ihr Teilkörper denn definiert? Denn was dasteht ist imho genau die Definition eines Teilkörpers (die Aussage des Statements ist ja, dass man es zumindest auch als Definition von Teilkörper verwenden kann), um zu wissen, was genau jetzt zu zeigen ist, müsste ich aber eure Definition kennen.
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24.11.2013, 23:32	jan21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} (K, +, \ast) \end{eqnarray}$ ein Körper und $\begin{eqnarray} L \subseteq K \end{eqnarray}$ , dann heißt $\begin{eqnarray} (L, + , \ast) \end{eqnarray}$ Teilkörper von $\begin{eqnarray} (K, +, \ast) \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} (L, + , \ast) \end{eqnarray}$ selbst ein Körper ist.
24.11.2013, 23:42	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann musst du ja jetzt nur Axiome abklappern.
25.11.2013, 00:02	jan21	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie meinst du das? EDIT: Es gibt ein Element $\begin{eqnarray} 0 \in L \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} a \in L \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a+0=a \end{eqnarray}$ . Es gibt ein Element $\begin{eqnarray} 1 \in L\setminus \{0\} \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} a \in L \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a \cdot 1=a \end{eqnarray}$ . Und so weiter?
25.11.2013, 00:17	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Auch entscheidend ist, dass das Bild der Einschränkung der Verknüpfungen auf AxA wieder in A liegt. Assoziativität, Kommutativität überträgt sich ohnehin.
25.11.2013, 02:29	jan21	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus werde ich nicht schlau!
25.11.2013, 07:46	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja. Die Abbildungen, die auf AxA wirken kommen von den Abbildungen, die auf KxK wirken. Dass auch die Einschränkung noch kommutativ/assoziativ/distributiv ist, ist trivial (wenn es für alle Elemente in K kommutativ/ass./distr. ist, dann erst recht für alle in A). Dass es neutrale und inverse in A gibt, steht direkt in 1, 3 und 4. Wozu braucht man jetzt zwei? Naja, es wird bei der Definition "A ist ein Körper" noch vorausgesetzt, dass die Abbildungen AxA -> A abbilden. Also musst du aus 2 folgern, dass das gilt (da steht ja auch nichts anderes als genau das). Damit sind alle Axiome abgedeckt.

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